微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{x + 1}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x \sqrt{x + 1} d x$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sqrt{x + 1}$ 。

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4.2

组合 $x$ 和 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 6

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 8

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解题步骤 8.1

将 $\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{2}{3} x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ 。

$\frac{2}{3} x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $\frac{2 x}{3}$ 和 ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8.2.3

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8.2.5

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8.2.6

要将 $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

解题步骤 8.2.7

组合 $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 8.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 8.2.9

组合 $u^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{4}{15}$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 8.2.10

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C$

解题步骤 8.2.11

组合 $- 3$ 和 $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C$

解题步骤 8.2.12

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

解题步骤 8.2.13

从 $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

解题步骤 8.2.14

约去公因数。

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解题步骤 8.2.14.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

解题步骤 8.2.14.2

约去公因数。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

解题步骤 8.2.14.3

重写表达式。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 8.2.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 8.2.16

要将 $2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 8.2.17

组合 $2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 8.2.18

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 8.2.19

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 8.2.20

将 $\frac{\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ 重写为乘积形式。

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

解题步骤 8.2.21

将 $\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

解题步骤 8.2.22

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 9

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$\frac{1}{15} (10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = x \sqrt{x + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

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