微积分学示例

$y = x e^{x^{3}}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x^{3}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x (e^{x^{3}} (3 x^{2})) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} x^{1} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 1} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.2

将 $3$ 移到 $e^{x^{3}}$ 的左侧。

$x^{3} (3 \cdot e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{3} (3 e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} \cdot 1$

解题步骤 8

将 $e^{x^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} (3 e^{x^{3}}) + e^{x^{3}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

重新排序项。

$3 e^{x^{3}} x^{3} + e^{x^{3}}$

解题步骤 9.2

将 $3 e^{x^{3}} x^{3} + e^{x^{3}}$ 中的因式重新排序。

$3 x^{3} e^{x^{3}} + e^{x^{3}}$

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