微积分学示例

$π \int_{0}^{1} [{(x^{4})}^{2} - {(x^{7})}^{2}] d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$π \int_{0}^{1} {(x^{4})}^{2} - {(x^{7})}^{2} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$π \int_{0}^{1} x^{4 \cdot 2} - {(x^{7})}^{2} d x$

解题步骤 2.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$π \int_{0}^{1} x^{8} - {(x^{7})}^{2} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{7})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$π \int_{0}^{1} x^{8} - x^{7 \cdot 2} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$π \int_{0}^{1} x^{8} - x^{14} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$π (\int_{0}^{1} x^{8} d x + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{8}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{9} x^{9}$ 。

$π (\frac{1}{9} x^{9}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $x^{9}$ 。

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{14} d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{14} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{14}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{15} x^{15}$ 。

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - (\frac{1}{15} x^{15}]_{0}^{1}))$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{15}$ 和 $x^{15}$ 。

$π (\frac{x^{9}}{9}]_{0}^{1} - (\frac{x^{15}}{15}]_{0}^{1}))$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{x^{9}}{9}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$π ((\frac{1^{9}}{9}) - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{x^{15}}{15}]_{0}^{1}))$

解题步骤 8.2.2

计算 $\frac{x^{15}}{15}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$π (\frac{1^{9}}{9} - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3

化简。

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解题步骤 8.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$π (\frac{1}{9} - \frac{0^{9}}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (\frac{1}{9} - \frac{0}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3.3

约去 $0$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $9$ 。

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 (0)}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.3.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3.3.2.2

约去公因数。

$π (\frac{1}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3.3.2.3

重写表达式。

$π (\frac{1}{9} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{1}{9} - 0 - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{1}{9} + 0 - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3.5

将 $\frac{1}{9}$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1^{15}}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3.6

一的任意次幂都为一。

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0^{15}}{15}))$

解题步骤 8.2.3.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0}{15}))$

解题步骤 8.2.3.8

约去 $0$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $15$ 。

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 (0)}{15}))$

解题步骤 8.2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.8.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $15$ 。

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1}))$

解题步骤 8.2.3.8.2.2

约去公因数。

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1}))$

解题步骤 8.2.3.8.2.3

重写表达式。

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 8.2.3.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} - 0))$

解题步骤 8.2.3.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{1}{9} - (\frac{1}{15} + 0))$

解题步骤 8.2.3.10

将 $\frac{1}{15}$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{1}{9} - \frac{1}{15})$

解题步骤 8.2.3.11

要将 $\frac{1}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15})$

解题步骤 8.2.3.12

要将 $- \frac{1}{15}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π (\frac{1}{9} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 8.2.3.13

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $45$ 的形式。

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解题步骤 8.2.3.13.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{5}{9 \cdot 5} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 8.2.3.13.2

将 $9$ 乘以 $5$ 。

$π (\frac{5}{45} - \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 8.2.3.13.3

将 $\frac{1}{15}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π (\frac{5}{45} - \frac{3}{15 \cdot 3})$

解题步骤 8.2.3.13.4

将 $15$ 乘以 $3$ 。

$π (\frac{5}{45} - \frac{3}{45})$

解题步骤 8.2.3.14

在公分母上合并分子。

$π \frac{5 - 3}{45}$

解题步骤 8.2.3.15

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$π \frac{2}{45}$

解题步骤 8.2.3.16

组合 $π$ 和 $\frac{2}{45}$ 。

$\frac{π \cdot 2}{45}$

解题步骤 8.2.3.17

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{2 π}{45}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 π}{45}$

小数形式：

$0.13962634 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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