微积分学示例

$e^{y} - x y = e$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (e^{y} - x y) = \frac{d}{d y} (e)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $e^{y} - x y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ 。

$\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 等于 $a^{y} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{y} + \frac{d}{d y} [- x y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [- x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [x y]$ 。

$e^{y} - \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x$ 且 $g (y) = y$ 。

$e^{y} - (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{y} - (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$e^{y} - (x \cdot 1 + y x')$

解题步骤 2.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{y} - (x + y x')$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$e^{y} - x - (y x')$

解题步骤 2.4.2

去掉多余的括号。

$e^{y} - x - y x'$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$- y x' - x + e^{y}$

解题步骤 3

因为 $e$ 对于 $y$ 是常数，所以 $e$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- y x' - x + e^{y} = 0$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $x'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$- y x' + e^{y} = x$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $e^{y}$ 。

$- y x' = x - e^{y}$

解题步骤 5.2

将 $- y x' = x - e^{y}$ 中的每一项除以 $- y$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- y x' = x - e^{y}$ 中的每一项都除以 $- y$ 。

$\frac{- y x'}{- y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y x'}{y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y x'}{y} = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{x}{- y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{- e^{y}}{- y}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$x' = - \frac{x}{y} + \frac{e^{y}}{y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{e^{y}}{y}$

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