微积分学示例

$\sin (x^{2} y^{2}) = 3 y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (3 y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2} y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} y^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x^{2} y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (x^{2} y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.4

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

解题步骤 2.7

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y') + \cos (x^{2} y^{2}) (2 y^{2} x)$

解题步骤 2.8.2

重新排序项。

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 3 y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ 中的因式重新排序。

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 3 y'$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3 y'$ 。

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) - 3 y' = 0$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ 。

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) - 3 y' = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

解题步骤 5.4

从 $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) - 3 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})) - 3 y' = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

解题步骤 5.4.2

从 $- 3 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

解题步骤 5.4.3

从 $y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})) + y' \cdot - 3$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3) = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

解题步骤 5.5

将 $y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3) = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ 中的每一项除以 $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3) = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ 中的每一项都除以 $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3$ 。

$\frac{y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3)}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3} = \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3)}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3} = \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

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