微积分学示例

$x {(x - 3)}^{2} (x + 1)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$\frac{d}{d x} [x ((x - 3) (x - 3)) (x + 1)]$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (x + 1)]$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (x + 1)]$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1)]$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1)]$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1)]$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (x + 1)]$

解题步骤 1.3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9) (x + 1)]$

解题步骤 1.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x (x^{2} - 6 x + 9)$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

解题步骤 1.5

求微分。

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解题步骤 1.5.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

解题步骤 1.5.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

解题步骤 1.5.4

化简表达式。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

解题步骤 1.5.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 6 x + 9)]$

解题步骤 1.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7

求微分。

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解题步骤 1.7.1

根据加法法则， $x^{2} - 6 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7.7

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.7.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1)$

解题步骤 1.7.9

将 $x^{2} - 6 x + 9$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9)$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

运用分配律。

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9)$

解题步骤 1.8.2

运用分配律。

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x) + x \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9)$

解题步骤 1.8.3

运用分配律。

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x)) + (x + 1) (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

解题步骤 1.8.4

运用分配律。

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + (x + 1) (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

解题步骤 1.8.5

运用分配律。

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

解题步骤 1.8.6

运用分配律。

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

解题步骤 1.8.7

运用分配律。

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

解题步骤 1.8.8

运用分配律。

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9

合并项。

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解题步骤 1.8.9.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.8.9.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.8.9.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 (x^{1} x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 (x^{1} x^{1}) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 6 x^{1 + 1} + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.6

将 $9$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 \cdot x + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 (x^{1} x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 (x^{1} x^{1})) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 x^{1 + 1}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 x^{2}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 (x^{1} x^{2}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{1 + 2} + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.13

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 (x^{1} x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 (x^{1} x^{1})) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 x^{1 + 1}) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 x^{2}) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.18

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.19

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x (- 6 \cdot x) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.20

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 (x^{1} x) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.21

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{1 + 1} + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.23

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.24

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 1 (- 6 \cdot x) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.25

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} - 6 x + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.26

从 $2 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.27

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.8.9.27.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.8.9.27.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{1} x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.27.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{1 + 2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.27.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{3} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.28

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{3} + x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.29

将 $2 x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.30

将 $- 4 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.31

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 (x^{1} x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.32

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.33

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{1 + 1} + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.34

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.35

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} - 6 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.36

从 $- 3 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x - 6 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.37

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.38

将 $9$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + 9 \cdot x + 1 \cdot 9$

解题步骤 1.8.9.39

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + 9 x + 9$

解题步骤 1.8.9.40

将 $- 12 x$ 和 $9 x$ 相加。

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 9$

解题步骤 1.8.9.41

将 $x^{3}$ 和 $3 x^{3}$ 相加。

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 9 x^{2} - 3 x + 9$

解题步骤 1.8.9.42

从 $- 6 x^{2}$ 中减去 $9 x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x - 3 x + 9$

解题步骤 1.8.9.43

从 $9 x$ 中减去 $3 x$ 。

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 15$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2.4.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + 6 + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.5.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + 6 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $12 x^{2} - 30 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 30 x + 6$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((x - 3) (x - 3)) (x + 1))$

解题步骤 4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (x + 1))$

解题步骤 4.1.2.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (x + 1))$

解题步骤 4.1.2.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1))$

解题步骤 4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1))$

解题步骤 4.1.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (x + 1))$

解题步骤 4.1.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (x + 1))$

解题步骤 4.1.3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9) (x + 1))$

解题步骤 4.1.4

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x + 1) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

解题步骤 4.1.5

求微分。

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解题步骤 4.1.5.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

解题步骤 4.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (1)) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

解题步骤 4.1.5.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

解题步骤 4.1.5.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

解题步骤 4.1.5.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6 x + 9))$

解题步骤 4.1.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.7

求微分。

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解题步骤 4.1.7.1

根据加法法则， $x^{2} - 6 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.7.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.7.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.7.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.7.7

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 4.1.7.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1)$

解题步骤 4.1.7.9

将 $x^{2} - 6 x + 9$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) + (x + 1) (x (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9)$

解题步骤 4.1.8

化简。

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解题步骤 4.1.8.1

运用分配律。

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9)$

解题步骤 4.1.8.2

运用分配律。

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x) + x \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9)$

解题步骤 4.1.8.3

运用分配律。

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + (x + 1) (x (2 x)) + (x + 1) (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.4

运用分配律。

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + (x + 1) (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.5

运用分配律。

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + (x + 1) x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.6

运用分配律。

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + (x + 1) (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.7

运用分配律。

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + (x + 1) \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.8

运用分配律。

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9

合并项。

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解题步骤 4.1.8.9.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.8.9.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.8.9.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{1 + 2} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{1 + 1} + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot 9 + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.6

将 $9$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 \cdot x + x (x (2 x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 (x \cdot x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 (x \cdot x)) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 x^{1 + 1}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + x (2 x^{2}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 (x \cdot x^{2}) + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{1 + 2} + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.13

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (x (2 x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 (x \cdot x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 (x \cdot x)) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 x^{1 + 1}) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 1 (2 x^{2}) + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.18

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x (x \cdot - 6) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.19

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} + x (- 6 \cdot x) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.20

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 (x \cdot x) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.21

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 (x \cdot x) + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{1 + 1} + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.23

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 1 (x \cdot - 6) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.24

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} + 1 (- 6 \cdot x) + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.25

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x^{2} - 6 x + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.26

从 $2 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.27

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.8.9.27.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.8.9.27.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x \cdot x^{2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.27.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{1 + 2} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.27.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{3} + 1 x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.28

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{3} + x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.29

将 $2 x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + x^{2} + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.30

将 $- 4 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + x (- 6 x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.31

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 (x \cdot x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.32

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 (x \cdot x) + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.33

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{1 + 1} + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.34

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} + 1 (- 6 x) + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.35

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6 x^{2} - 6 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.36

从 $- 3 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x - 6 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.37

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + x \cdot 9 + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.38

将 $9$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + 9 \cdot x + 1 \cdot 9$

解题步骤 4.1.8.9.39

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x + 9 x + 9$

解题步骤 4.1.8.9.40

将 $- 12 x$ 和 $9 x$ 相加。

$f' (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 9$

解题步骤 4.1.8.9.41

将 $x^{3}$ 和 $3 x^{3}$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 9 x^{2} - 3 x + 9$

解题步骤 4.1.8.9.42

从 $- 6 x^{2}$ 中减去 $9 x^{2}$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 9 x - 3 x + 9$

解题步骤 4.1.8.9.43

从 $9 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ 。

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

解题步骤 5.2

使用有理根检验法因式分解 $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ 。

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解题步骤 5.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 5.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

解题步骤 5.2.3

代入 $3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $3$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $3$ 代入多项式。

$4 \cdot 3^{3} - 15 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 + 9$

解题步骤 5.2.3.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 27 - 15 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 + 9$

解题步骤 5.2.3.3

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$108 - 15 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3 + 9$

解题步骤 5.2.3.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$108 - 15 \cdot 9 + 6 \cdot 3 + 9$

解题步骤 5.2.3.5

将 $- 15$ 乘以 $9$ 。

$108 - 135 + 6 \cdot 3 + 9$

解题步骤 5.2.3.6

从 $108$ 中减去 $135$ 。

$- 27 + 6 \cdot 3 + 9$

解题步骤 5.2.3.7

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$- 27 + 18 + 9$

解题步骤 5.2.3.8

将 $- 27$ 和 $18$ 相加。

$- 9 + 9$

解题步骤 5.2.3.9

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$0$

解题步骤 5.2.4

因为 $3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9}{x - 3}$

解题步骤 5.2.5

用 $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ 除以 $x - 3$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$15 x^{2}$

$6 x$

$9$

解题步骤 5.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$

解题步骤 5.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

解题步骤 5.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

解题步骤 5.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

解题步骤 5.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 5.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 5.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

解题步骤 5.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{2} + 9 x$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

解题步骤 5.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$

解题步骤 5.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$

解题步骤 5.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 3 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$

解题步骤 5.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$
							-	$3 x$	+	$9$

解题步骤 5.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x + 9$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$
							+	$3 x$	-	$9$

解题步骤 5.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$3 x$	+	$9$
							+	$3 x$	-	$9$
										$0$

解题步骤 5.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$4 x^{2} - 3 x - 3$

解题步骤 5.2.6

将 $4 x^{3} - 15 x^{2} + 6 x + 9$ 书写为因数的集合。

$(x - 3) (4 x^{2} - 3 x - 3) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$4 x^{2} - 3 x - 3 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5.5

将 $4 x^{2} - 3 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $4 x^{2} - 3 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} - 3 x - 3 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $4 x^{2} - 3 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 4$ 、 $b = - 3$ 和 $c = - 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 3)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 3$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

将 $9$ 和 $48$ 相加。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}, \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $(x - 3) (4 x^{2} - 3 x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, \frac{3 + \sqrt{57}}{8}, \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 3, \frac{3 + \sqrt{57}}{8}, \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 8

计算在 $x = 3$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(3)}^{2} - 30 \cdot 3 + 6$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \cdot 9 - 30 \cdot 3 + 6$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$108 - 30 \cdot 3 + 6$

解题步骤 9.1.3

将 $- 30$ 乘以 $3$ 。

$108 - 90 + 6$

解题步骤 9.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 9.2.1

从 $108$ 中减去 $90$ 。

$18 + 6$

解题步骤 9.2.2

将 $18$ 和 $6$ 相加。

$24$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 3$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 3$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 3$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = (3) {((3) - 3)}^{2} ((3) + 1)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (3) = 3 \cdot (0^{2} ((3) + 1))$

解题步骤 11.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (3) = 3 \cdot (0 ((3) + 1))$

解题步骤 11.2.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (3) = 0 ((3) + 1)$

解题步骤 11.2.4

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (3) = 0 \cdot 4$

解题步骤 11.2.5

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$f (3) = 0$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(\frac{3 + \sqrt{57}}{8})}^{2} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$12 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{64} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{64} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.3.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot 3 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.3.3

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.3.4

重写表达式。

$3 \frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.4

组合 $3$ 和 $\frac{{(3 + \sqrt{57})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{3 {(3 + \sqrt{57})}^{2}}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.5

将 ${(3 + \sqrt{57})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{57}) (3 + \sqrt{57})$ 。

$\frac{3 ((3 + \sqrt{57}) (3 + \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{57}) (3 + \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 13.1.6.1

运用分配律。

$\frac{3 (3 (3 + \sqrt{57}) + \sqrt{57} (3 + \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.6.2

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} (3 + \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.6.3

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 3 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.7.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 3 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.7.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{57}$ 的左侧。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + 3 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.7.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57 \cdot 57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.7.1.4

将 $57$ 乘以 $57$ 。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + \sqrt{3249})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.7.1.5

将 $3249$ 重写为 $57^{2}$ 。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + \sqrt{57^{2}})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.7.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57} + 57)}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.7.2

将 $9$ 和 $57$ 相加。

$\frac{3 (66 + 3 \sqrt{57} + 3 \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.7.3

将 $3 \sqrt{57}$ 和 $3 \sqrt{57}$ 相加。

$\frac{3 (66 + 6 \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.8

约去 $66 + 6 \sqrt{57}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.8.1

从 $3 (66 + 6 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (33 + 3 \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.8.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (33 + 3 \sqrt{57}))}{2 (8)} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 (33 + 3 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.8.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - 30 \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.9.1

从 $- 30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} + 2 (- 15) \frac{3 + \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 13.1.9.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 15 \frac{3 + \sqrt{57}}{2 \cdot 4} + 6$

解题步骤 13.1.9.3

约去公因数。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 15 \frac{3 + \sqrt{57}}{2 \cdot 4} + 6$

解题步骤 13.1.9.4

重写表达式。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - 15 \frac{3 + \sqrt{57}}{4} + 6$

解题步骤 13.1.10

组合 $- 15$ 和 $\frac{3 + \sqrt{57}}{4}$ 。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} + \frac{- 15 (3 + \sqrt{57})}{4} + 6$

解题步骤 13.1.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57})}{4} + 6$

解题步骤 13.2

求公分母。

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解题步骤 13.2.1

将 $\frac{15 (3 + \sqrt{57})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - (\frac{15 (3 + \sqrt{57})}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

解题步骤 13.2.2

将 $\frac{15 (3 + \sqrt{57})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + 6$

解题步骤 13.2.3

将 $6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

解题步骤 13.2.4

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 13.2.5

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (33 + 3 \sqrt{57}) - 15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4

化简每一项。

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解题步骤 13.4.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 33 + 3 (3 \sqrt{57}) - 15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.2

将 $3$ 乘以 $33$ 。

$\frac{99 + 3 (3 \sqrt{57}) - 15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} - 15 (3 + \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.4

运用分配律。

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} + (- 15 \cdot 3 - 15 \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.5

将 $- 15$ 乘以 $3$ 。

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} + (- 45 - 15 \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.6

运用分配律。

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} - 45 \cdot 2 - 15 \sqrt{57} \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.7

将 $- 45$ 乘以 $2$ 。

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} - 90 - 15 \sqrt{57} \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.8

将 $2$ 乘以 $- 15$ 。

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} - 90 - 30 \sqrt{57} + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.9

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$\frac{99 + 9 \sqrt{57} - 90 - 30 \sqrt{57} + 48}{8}$

解题步骤 13.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 13.5.1

从 $99$ 中减去 $90$ 。

$\frac{9 + 9 \sqrt{57} - 30 \sqrt{57} + 48}{8}$

解题步骤 13.5.2

将 $9$ 和 $48$ 相加。

$\frac{57 + 9 \sqrt{57} - 30 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 13.5.3

从 $9 \sqrt{57}$ 中减去 $30 \sqrt{57}$ 。

$\frac{57 - 21 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = \frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) {((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) - 3)}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 + \sqrt{57}}{8} - 3 \cdot \frac{8}{8})}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1))$

解题步骤 15.2.2

合并分数。

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解题步骤 15.2.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 + \sqrt{57}}{8} + \frac{- 3 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1))$

解题步骤 15.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 + \sqrt{57} - 3 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1))$

解题步骤 15.2.3

化简分子。

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解题步骤 15.2.3.1

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 + \sqrt{57} - 24}{8})}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1))$

解题步骤 15.2.3.2

从 $3$ 中减去 $24$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{- 21 + \sqrt{57}}{8})}^{2} ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1))$

解题步骤 15.2.4

化简表达式。

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解题步骤 15.2.4.1

对 $\frac{- 21 + \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{{(- 21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.4.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{{(- 21 + \sqrt{57})}^{2}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.4.3

将 ${(- 21 + \sqrt{57})}^{2}$ 重写为 $(- 21 + \sqrt{57}) (- 21 + \sqrt{57})$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{(- 21 + \sqrt{57}) (- 21 + \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 21 + \sqrt{57}) (- 21 + \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 15.2.5.1

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 (- 21 + \sqrt{57}) + \sqrt{57} (- 21 + \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.5.2

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 \cdot - 21 - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} (- 21 + \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.5.3

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 \cdot - 21 - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot - 21 + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.6.1.1

将 $- 21$ 乘以 $- 21$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot - 21 + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.6.1.2

将 $- 21$ 移到 $\sqrt{57}$ 的左侧。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} - 21 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.6.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57 \cdot 57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.6.1.4

将 $57$ 乘以 $57$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{3249}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.6.1.5

将 $3249$ 重写为 $57^{2}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57^{2}}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.6.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.6.2

将 $441$ 和 $57$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{498 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.6.3

从 $- 21 \sqrt{57}$ 中减去 $21 \sqrt{57}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{498 - 42 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.7

约去 $498 - 42 \sqrt{57}$ 和 $64$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.7.1

从 $498$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249) - 42 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.7.2

从 $- 42 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249) + 2 (- 21 \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.7.3

从 $2 (249) + 2 (- 21 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 - 21 \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.7.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.7.4.1

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 - 21 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.7.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 - 21 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.7.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{249 - 21 \sqrt{57}}{32} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.8

乘以 $\frac{3 + \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{249 - 21 \sqrt{57}}{32}$ 。

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解题步骤 15.2.8.1

将 $\frac{3 + \sqrt{57}}{8}$ 乘以 $\frac{249 - 21 \sqrt{57}}{32}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{(3 + \sqrt{57}) (249 - 21 \sqrt{57})}{8 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.8.2

将 $8$ 乘以 $32$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{(3 + \sqrt{57}) (249 - 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.9

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{57}) (249 - 21 \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 15.2.9.1

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57}) + \sqrt{57} (249 - 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.9.2

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 \cdot 249 + 3 (- 21 \sqrt{57}) + \sqrt{57} (249 - 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.9.3

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 \cdot 249 + 3 (- 21 \sqrt{57}) + \sqrt{57} \cdot 249 + \sqrt{57} (- 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.10.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.10.1.1

将 $3$ 乘以 $249$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 3 (- 21 \sqrt{57}) + \sqrt{57} \cdot 249 + \sqrt{57} (- 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.2

将 $- 21$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 249 + \sqrt{57} (- 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.3

将 $249$ 移到 $\sqrt{57}$ 的左侧。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} (- 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.4

乘以 $\sqrt{57} (- 21 \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 15.2.10.1.4.1

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.4.2

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 {\sqrt{57}}^{2}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.5

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 15.2.10.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.10.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.1.6

将 $- 21$ 乘以 $57$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57} - 1197}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.2

从 $747$ 中减去 $1197$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 450 - 63 \sqrt{57} + 249 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.10.3

将 $- 63 \sqrt{57}$ 和 $249 \sqrt{57}$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 450 + 186 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.11

约去 $- 450 + 186 \sqrt{57}$ 和 $256$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.11.1

从 $- 450$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225) + 186 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.11.2

从 $186 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225) + 2 (93 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.11.3

从 $2 (- 225) + 2 (93 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 + 93 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.11.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.11.4.1

从 $256$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 + 93 \sqrt{57})}{2 \cdot 128} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.11.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 + 93 \sqrt{57})}{2 \cdot 128} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.11.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128} \cdot ((\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 15.2.12

化简表达式。

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解题步骤 15.2.12.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128} \cdot (\frac{3 + \sqrt{57}}{8} + \frac{8}{8})$

解题步骤 15.2.12.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{3 + \sqrt{57} + 8}{8}$

解题步骤 15.2.12.3

将 $3$ 和 $8$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 15.2.13

乘以 $\frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{11 + \sqrt{57}}{8}$ 。

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解题步骤 15.2.13.1

将 $\frac{- 225 + 93 \sqrt{57}}{128}$ 乘以 $\frac{11 + \sqrt{57}}{8}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{(- 225 + 93 \sqrt{57}) (11 + \sqrt{57})}{128 \cdot 8}$

解题步骤 15.2.13.2

将 $128$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{(- 225 + 93 \sqrt{57}) (11 + \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 15.2.14

使用 FOIL 方法展开 $(- 225 + 93 \sqrt{57}) (11 + \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 15.2.14.1

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 (11 + \sqrt{57}) + 93 \sqrt{57} (11 + \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 15.2.14.2

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 \cdot 11 - 225 \sqrt{57} + 93 \sqrt{57} (11 + \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 15.2.14.3

运用分配律。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 \cdot 11 - 225 \sqrt{57} + 93 \sqrt{57} \cdot 11 + 93 \sqrt{57} \sqrt{57}}{1024}$

解题步骤 15.2.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.15.1.1

将 $- 225$ 乘以 $11$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 93 \sqrt{57} \cdot 11 + 93 \sqrt{57} \sqrt{57}}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.2

将 $11$ 乘以 $93$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \sqrt{57} \sqrt{57}}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.3

乘以 $93 \sqrt{57} \sqrt{57}$ 。

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解题步骤 15.2.15.1.3.1

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.3.2

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 {\sqrt{57}}^{2}}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.4

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 15.2.15.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.15.1.4.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.4.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.4.5

计算指数。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57}{1024}$

解题步骤 15.2.15.1.5

将 $93$ 乘以 $57$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57} + 5301}{1024}$

解题步骤 15.2.15.2

将 $- 2475$ 和 $5301$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2826 - 225 \sqrt{57} + 1023 \sqrt{57}}{1024}$

解题步骤 15.2.15.3

将 $- 225 \sqrt{57}$ 和 $1023 \sqrt{57}$ 相加。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2826 + 798 \sqrt{57}}{1024}$

解题步骤 15.2.16

约去 $2826 + 798 \sqrt{57}$ 和 $1024$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.16.1

从 $2826$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413) + 798 \sqrt{57}}{1024}$

解题步骤 15.2.16.2

从 $798 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413) + 2 (399 \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 15.2.16.3

从 $2 (1413) + 2 (399 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 + 399 \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 15.2.16.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.16.4.1

从 $1024$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 + 399 \sqrt{57})}{2 \cdot 512}$

解题步骤 15.2.16.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 + 399 \sqrt{57})}{2 \cdot 512}$

解题步骤 15.2.16.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 15.2.17

最终答案为 $\frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$ 。

$y = \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 16

计算在 $x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(\frac{3 - \sqrt{57}}{8})}^{2} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

对 $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$12 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{64} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{64} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.3.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot 3 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.3.3

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.3.4

重写表达式。

$3 \frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.4

组合 $3$ 和 $\frac{{(3 - \sqrt{57})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{3 {(3 - \sqrt{57})}^{2}}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.5

将 ${(3 - \sqrt{57})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{57}) (3 - \sqrt{57})$ 。

$\frac{3 ((3 - \sqrt{57}) (3 - \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{57}) (3 - \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 17.1.6.1

运用分配律。

$\frac{3 (3 (3 - \sqrt{57}) - \sqrt{57} (3 - \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.6.2

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} (3 - \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.6.3

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 3 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 17.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.7.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (9 + 3 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 3 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot 3 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.4

乘以 $- \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 17.1.7.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 1 \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.4.2

将 $\sqrt{57}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.4.3

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1} \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.4.4

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1} {\sqrt{57}}^{1})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1 + 1})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{2})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.5

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 17.1.7.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.7.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57^{1})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.1.5.5

计算指数。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57} + 57)}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.2

将 $9$ 和 $57$ 相加。

$\frac{3 (66 - 3 \sqrt{57} - 3 \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.7.3

从 $- 3 \sqrt{57}$ 中减去 $3 \sqrt{57}$ 。

$\frac{3 (66 - 6 \sqrt{57})}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.8

约去 $66 - 6 \sqrt{57}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.8.1

从 $3 (66 - 6 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (33 - 3 \sqrt{57}))}{16} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 17.1.8.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (33 - 3 \sqrt{57}))}{2 (8)} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 (33 - 3 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.8.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - 30 \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.9.1

从 $- 30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} + 2 (- 15) \frac{3 - \sqrt{57}}{8} + 6$

解题步骤 17.1.9.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 15 \frac{3 - \sqrt{57}}{2 \cdot 4} + 6$

解题步骤 17.1.9.3

约去公因数。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 15 \frac{3 - \sqrt{57}}{2 \cdot 4} + 6$

解题步骤 17.1.9.4

重写表达式。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - 15 \frac{3 - \sqrt{57}}{4} + 6$

解题步骤 17.1.10

组合 $- 15$ 和 $\frac{3 - \sqrt{57}}{4}$ 。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} + \frac{- 15 (3 - \sqrt{57})}{4} + 6$

解题步骤 17.1.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57})}{4} + 6$

解题步骤 17.2

求公分母。

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解题步骤 17.2.1

将 $\frac{15 (3 - \sqrt{57})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - (\frac{15 (3 - \sqrt{57})}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

解题步骤 17.2.2

将 $\frac{15 (3 - \sqrt{57})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + 6$

解题步骤 17.2.3

将 $6$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

解题步骤 17.2.4

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 17.2.5

将 $\frac{6}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57})}{8} - \frac{15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (33 - 3 \sqrt{57}) - 15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4

化简每一项。

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解题步骤 17.4.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 33 + 3 (- 3 \sqrt{57}) - 15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.2

将 $3$ 乘以 $33$ 。

$\frac{99 + 3 (- 3 \sqrt{57}) - 15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} - 15 (3 - \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.4

运用分配律。

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} + (- 15 \cdot 3 - 15 (- \sqrt{57})) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.5

将 $- 15$ 乘以 $3$ 。

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} + (- 45 - 15 (- \sqrt{57})) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.6

将 $- 1$ 乘以 $- 15$ 。

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} + (- 45 + 15 \sqrt{57}) \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.7

运用分配律。

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} - 45 \cdot 2 + 15 \sqrt{57} \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.8

将 $- 45$ 乘以 $2$ 。

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} - 90 + 15 \sqrt{57} \cdot 2 + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.9

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} - 90 + 30 \sqrt{57} + 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.10

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$\frac{99 - 9 \sqrt{57} - 90 + 30 \sqrt{57} + 48}{8}$

解题步骤 17.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 17.5.1

从 $99$ 中减去 $90$ 。

$\frac{9 - 9 \sqrt{57} + 30 \sqrt{57} + 48}{8}$

解题步骤 17.5.2

将 $9$ 和 $48$ 相加。

$\frac{57 - 9 \sqrt{57} + 30 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 17.5.3

将 $- 9 \sqrt{57}$ 和 $30 \sqrt{57}$ 相加。

$\frac{57 + 21 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = \frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) {((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) - 3)}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 - \sqrt{57}}{8} - 3 \cdot \frac{8}{8})}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1))$

解题步骤 19.2.2

合并分数。

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解题步骤 19.2.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 - \sqrt{57}}{8} + \frac{- 3 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1))$

解题步骤 19.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 - \sqrt{57} - 3 \cdot 8}{8})}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1))$

解题步骤 19.2.3

化简分子。

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解题步骤 19.2.3.1

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{3 - \sqrt{57} - 24}{8})}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1))$

解题步骤 19.2.3.2

从 $3$ 中减去 $24$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot ({(\frac{- 21 - \sqrt{57}}{8})}^{2} ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1))$

解题步骤 19.2.4

化简表达式。

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解题步骤 19.2.4.1

对 $\frac{- 21 - \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{{(- 21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.4.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{{(- 21 - \sqrt{57})}^{2}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.4.3

将 ${(- 21 - \sqrt{57})}^{2}$ 重写为 $(- 21 - \sqrt{57}) (- 21 - \sqrt{57})$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{(- 21 - \sqrt{57}) (- 21 - \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 21 - \sqrt{57}) (- 21 - \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 19.2.5.1

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 (- 21 - \sqrt{57}) - \sqrt{57} (- 21 - \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.5.2

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 \cdot - 21 - 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} (- 21 - \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.5.3

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{- 21 \cdot - 21 - 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot - 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.6.1.1

将 $- 21$ 乘以 $- 21$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 - 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot - 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 21$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot - 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.3

将 $- 21$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.4

乘以 $- \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 19.2.6.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 1 \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.4.2

将 $\sqrt{57}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.4.3

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.4.4

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{2}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.5

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 19.2.6.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.6.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.2

将 $441$ 和 $57$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{498 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.6.3

将 $21 \sqrt{57}$ 和 $21 \sqrt{57}$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{498 + 42 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.7

约去 $498 + 42 \sqrt{57}$ 和 $64$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.7.1

从 $498$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249) + 42 \sqrt{57}}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.7.2

从 $42 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249) + 2 (21 \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.7.3

从 $2 (249) + 2 (21 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 + 21 \sqrt{57})}{64} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.7.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.7.4.1

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 + 21 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.7.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{2 (249 + 21 \sqrt{57})}{2 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.7.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{249 + 21 \sqrt{57}}{32} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.8

乘以 $\frac{3 - \sqrt{57}}{8} \cdot \frac{249 + 21 \sqrt{57}}{32}$ 。

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解题步骤 19.2.8.1

将 $\frac{3 - \sqrt{57}}{8}$ 乘以 $\frac{249 + 21 \sqrt{57}}{32}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{(3 - \sqrt{57}) (249 + 21 \sqrt{57})}{8 \cdot 32} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.8.2

将 $8$ 乘以 $32$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{(3 - \sqrt{57}) (249 + 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.9

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{57}) (249 + 21 \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 19.2.9.1

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57}) - \sqrt{57} (249 + 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.9.2

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 \cdot 249 + 3 (21 \sqrt{57}) - \sqrt{57} (249 + 21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.9.3

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{3 \cdot 249 + 3 (21 \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 249 - \sqrt{57} (21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.2.10.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.10.1.1

将 $3$ 乘以 $249$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 3 (21 \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 249 - \sqrt{57} (21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.2

将 $21$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot 249 - \sqrt{57} (21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.3

将 $249$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - \sqrt{57} (21 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.4

乘以 $- \sqrt{57} (21 \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 19.2.10.1.4.1

将 $21$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.4.2

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.4.3

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 {\sqrt{57}}^{2}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.5

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 19.2.10.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.10.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 21 \cdot 57}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.1.6

将 $- 21$ 乘以 $57$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{747 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57} - 1197}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.2

从 $747$ 中减去 $1197$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 450 + 63 \sqrt{57} - 249 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.10.3

从 $63 \sqrt{57}$ 中减去 $249 \sqrt{57}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 450 - 186 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.11

约去 $- 450 - 186 \sqrt{57}$ 和 $256$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.11.1

从 $- 450$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225) - 186 \sqrt{57}}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.11.2

从 $- 186 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225) + 2 (- 93 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.11.3

从 $2 (- 225) + 2 (- 93 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 - 93 \sqrt{57})}{256} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.11.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.11.4.1

从 $256$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 - 93 \sqrt{57})}{2 \cdot 128} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.11.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (- 225 - 93 \sqrt{57})}{2 \cdot 128} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.11.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128} \cdot ((\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) + 1)$

解题步骤 19.2.12

化简表达式。

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解题步骤 19.2.12.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128} \cdot (\frac{3 - \sqrt{57}}{8} + \frac{8}{8})$

解题步骤 19.2.12.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{3 - \sqrt{57} + 8}{8}$

解题步骤 19.2.12.3

将 $3$ 和 $8$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{11 - \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 19.2.13

乘以 $\frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128} \cdot \frac{11 - \sqrt{57}}{8}$ 。

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解题步骤 19.2.13.1

将 $\frac{- 225 - 93 \sqrt{57}}{128}$ 乘以 $\frac{11 - \sqrt{57}}{8}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{(- 225 - 93 \sqrt{57}) (11 - \sqrt{57})}{128 \cdot 8}$

解题步骤 19.2.13.2

将 $128$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{(- 225 - 93 \sqrt{57}) (11 - \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.14

使用 FOIL 方法展开 $(- 225 - 93 \sqrt{57}) (11 - \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 19.2.14.1

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 (11 - \sqrt{57}) - 93 \sqrt{57} (11 - \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.14.2

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 \cdot 11 - 225 (- \sqrt{57}) - 93 \sqrt{57} (11 - \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.14.3

运用分配律。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 225 \cdot 11 - 225 (- \sqrt{57}) - 93 \sqrt{57} \cdot 11 - 93 \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.2.15.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.15.1.1

将 $- 225$ 乘以 $11$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 - 225 (- \sqrt{57}) - 93 \sqrt{57} \cdot 11 - 93 \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 225$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 93 \sqrt{57} \cdot 11 - 93 \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.3

将 $11$ 乘以 $- 93$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} - 93 \sqrt{57} (- \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.4

乘以 $- 93 \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 19.2.15.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 93$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \sqrt{57} \sqrt{57}}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.4.2

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.4.3

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 (\sqrt{57} \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 {\sqrt{57}}^{1 + 1}}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 {\sqrt{57}}^{2}}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.5

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 19.2.15.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.15.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57^{\frac{2}{2}}}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 93 \cdot 57}{1024}$

解题步骤 19.2.15.1.6

将 $93$ 乘以 $57$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 2475 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57} + 5301}{1024}$

解题步骤 19.2.15.2

将 $- 2475$ 和 $5301$ 相加。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2826 + 225 \sqrt{57} - 1023 \sqrt{57}}{1024}$

解题步骤 19.2.15.3

从 $225 \sqrt{57}$ 中减去 $1023 \sqrt{57}$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2826 - 798 \sqrt{57}}{1024}$

解题步骤 19.2.16

约去 $2826 - 798 \sqrt{57}$ 和 $1024$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.16.1

从 $2826$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413) - 798 \sqrt{57}}{1024}$

解题步骤 19.2.16.2

从 $- 798 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413) + 2 (- 399 \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.16.3

从 $2 (1413) + 2 (- 399 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 - 399 \sqrt{57})}{1024}$

解题步骤 19.2.16.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.16.4.1

从 $1024$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 - 399 \sqrt{57})}{2 \cdot 512}$

解题步骤 19.2.16.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{2 (1413 - 399 \sqrt{57})}{2 \cdot 512}$

解题步骤 19.2.16.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 19.2.17

最终答案为 $\frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$ 。

$y = \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = x {(x - 3)}^{2} (x + 1)$ 的局部极值。

$(3, 0)$ 是一个局部最小值

$(\frac{3 + \sqrt{57}}{8}, \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512})$ 是一个局部最大值

$(\frac{3 - \sqrt{57}}{8}, \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512})$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例