微积分学示例

$1 + \sqrt{2 x}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $1 + \sqrt{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$

解题步骤 1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$0 + \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.4

因为 $2^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$0 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 2.10

将负号移到分数的前面。

$0 + 2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 2.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$0 + 2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.12

组合 $2^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$0 + \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.13

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$0 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$0 + \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.15.1

将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.15.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 + \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 + \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$0 + \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.3

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$0 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

将 $0$ 和 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ 相加。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

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