微积分学示例

Find the derivative of $\sin^{2} (x + 5)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x + 5)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (x + 5)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x + 5)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (x + 5) \frac{d}{d x} [\sin (x + 5)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 5$ 。

$2 \sin (x + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 5])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 \sin (x + 5) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x + 5])$

解题步骤 2.3

使用 $x + 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (x + 5) (\cos (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) (1 + 0)$

解题步骤 3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5) \cdot 1$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

重新排序 $2 \sin (x + 5) \cos (x + 5)$ 的因式。

$2 \cos (x + 5) \sin (x + 5)$

解题步骤 4.2

将 $2 \cos (x + 5)$ 和 $\sin (x + 5)$ 重新排序。

$\sin (x + 5) (2 \cos (x + 5))$

解题步骤 4.3

将 $\sin (x + 5)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x + 5) \cos (x + 5)$

解题步骤 4.4

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 (x + 5))$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$\sin (2 x + 2 \cdot 5)$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\sin (2 x + 10)$

微积分学 示例

微积分学示例