微积分学示例

$y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x = - 27$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x) = \frac{d}{d x} (- 27)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$3 y^{2} y' - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$3 y^{2} y' - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 y^{2} y' - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 y^{2} y' - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 y]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.5.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + \frac{d}{d x} [20 x]$

解题步骤 2.6

计算 $\frac{d}{d x} [20 x]$ 。

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解题步骤 2.6.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \cdot 1$

解题步骤 2.6.3

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20$

解题步骤 2.7

重新排序项。

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y'$

解题步骤 3

因为 $- 27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 20 - 9 y' = - 4 x$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $20$ 。

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

解题步骤 5.2

从 $3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' y^{2} - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

解题步骤 5.2.2

从 $- 6 y y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) - 9 y' = - 4 x - 20$

解题步骤 5.2.3

从 $- 9 y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

解题步骤 5.2.4

从 $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y)$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

解题步骤 5.2.5

从 $3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (y^{2} - 2 y - 3) = - 4 x - 20$

解题步骤 5.3

因数。

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解题步骤 5.3.1

使用 AC 法来对 $y^{2} - 2 y - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.3.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 5.3.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 y' ((y - 3) (y + 1)) = - 4 x - 20$

解题步骤 5.3.2

去掉多余的括号。

$3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$

解题步骤 5.4

将 $3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ 中的每一项除以 $3 (y - 3) (y + 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ 中的每一项都除以 $3 (y - 3) (y + 1)$ 。

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

解题步骤 5.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

解题步骤 5.4.2.3

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

解题步骤 5.4.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

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