微积分学示例

$5 x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$5 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

解题步骤 1.7

将负号移到分数的前面。

$5 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 1.8

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$5 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 1.9

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 1.10

组合 $- 5$ 和 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{- 5 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 1.11

化简表达式。

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解题步骤 1.11.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{- 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.11.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- \frac{5}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{2}$ 。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

解题步骤 2.7.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

解题步骤 2.9

组合 $x^{- \frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$- \frac{5}{2} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

解题步骤 2.10

乘。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{5}{2}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

解题步骤 2.10.2

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

解题步骤 2.11

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ 。

$\frac{5 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.12

乘。

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解题步骤 2.12.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.12.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

解题步骤 2.12.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{15}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

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