微积分学示例

$\int_{- 2}^{1} (4 x^{3} + 5 x^{2} - x + 1) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{3} + 5 x^{2} - x + 1 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

解题步骤 6

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{1}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 13.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 13.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + x]_{- 2}^{1}$

解题步骤 13.4

计算 $x$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5

化简。

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解题步骤 13.5.1

一的任意次幂都为一。

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.2

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.3

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.3.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.3.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.3.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$4 (\frac{1}{4} - 4) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.5

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$4 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.6

组合 $- 4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$4 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.7

在公分母上合并分子。

$4 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.8

化简分子。

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解题步骤 13.5.8.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$4 \frac{1 - 16}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.8.2

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$4 (\frac{- 15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.9

将负号移到分数的前面。

$4 (- \frac{15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.10

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 (\frac{15}{4}) + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.11

组合 $- 4$ 和 $\frac{15}{4}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 15}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.12

将 $- 4$ 乘以 $15$ 。

$\frac{- 60}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.13

约去 $- 60$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.13.1

从 $- 60$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 15}{4} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.13.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.13.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 15}{4 (1)} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.13.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 15}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.13.2.3

重写表达式。

$\frac{- 15}{1} + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.13.2.4

用 $- 15$ 除以 $1$ 。

$- 15 + 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.14

一的任意次幂都为一。

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.15

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.16

将负号移到分数的前面。

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.17

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.18

将 $\frac{8}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 15 + 5 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.19

在公分母上合并分子。

$- 15 + 5 \frac{1 + 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.20

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$- 15 + 5 (\frac{9}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.21

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.21.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.21.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.21.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.21.2.2

约去公因数。

$- 15 + 5 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.21.2.3

重写表达式。

$- 15 + 5 (\frac{3}{1}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.21.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$- 15 + 5 \cdot 3 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.22

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$- 15 + 15 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.23

将 $- 15$ 和 $15$ 相加。

$0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.24

一的任意次幂都为一。

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.25

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.26

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.26.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.26.2

约去公因数。

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解题步骤 13.5.26.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.26.2.2

约去公因数。

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.26.2.3

重写表达式。

$0 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.26.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.27

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 - (\frac{1}{2} - 2) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.28

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.29

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.30

在公分母上合并分子。

$0 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + 1 + 2$

解题步骤 13.5.31

化简分子。

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解题步骤 13.5.31.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$0 - \frac{1 - 4}{2} + 1 + 2$

解题步骤 13.5.31.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$0 - \frac{- 3}{2} + 1 + 2$

解题步骤 13.5.32

将负号移到分数的前面。

$0 - - \frac{3}{2} + 1 + 2$

解题步骤 13.5.33

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 (\frac{3}{2}) + 1 + 2$

解题步骤 13.5.34

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{3}{2} + 1 + 2$

解题步骤 13.5.35

将 $0$ 和 $\frac{3}{2}$ 相加。

$\frac{3}{2} + 1 + 2$

解题步骤 13.5.36

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3}{2} + 3$

解题步骤 13.5.37

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 13.5.38

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 13.5.39

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 13.5.40

化简分子。

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解题步骤 13.5.40.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 + 6}{2}$

解题步骤 13.5.40.2

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$\frac{9}{2}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{9}{2}$

小数形式：

$4.5$

带分数形式：

$4 \frac{1}{2}$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例