微积分学示例

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{\sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.2.1.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.2.1.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - 5}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3} - lim_{x \to 2} 5}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - 3} - lim_{x \to 2} 5}$

解题步骤 1.1.3.1.3

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} 5}$

解题步骤 1.1.3.1.4

因为项 $14$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} 5}$

解题步骤 1.1.3.1.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to 2} 5}$

解题步骤 1.1.3.1.6

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

将 $14$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{\sqrt{28 - 1 \cdot 3} - 1 \cdot 5}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{\sqrt{28 - 3} - 1 \cdot 5}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

从 $28$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}$

解题步骤 1.1.3.3.1.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{0}{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}$

解题步骤 1.1.3.3.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

解题步骤 1.1.3.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{0}{5 - 5}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{\sqrt{14 x - 3} - 5} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{2 x} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.3

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.4

因为 $2^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.8

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.9

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.12

组合 $2^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.13

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.15

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.3.15.1

将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.3.15.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.15.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.15.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.15.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.3.15.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3} - 5]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $\sqrt{14 x - 3} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{14 x - 3}]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{14 x - 3}$ 重写成 ${(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 14 x - 3$ 。

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解题步骤 1.3.7.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $14 x - 3$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.2.3

使用 $14 x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [14 x - 3] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.3

根据加法法则， $14 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.4

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.7.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.12

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (14 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.13

将 $14$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 14 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.15

组合 $\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $14$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.16

将 $14$ 移到 ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{14 \cdot {(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(14 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{14}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.18

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.19

约去公因数。

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解题步骤 1.3.7.19.1

从 $2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 ({(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.19.2

约去公因数。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7.19.3

重写表达式。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{7}{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

解题步骤 1.5

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 1.5.1

将 $2^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{2}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

解题步骤 1.5.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot \frac{{(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{7}$

解题步骤 1.5.3

将 ${(14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{14 x - 3}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$

解题步骤 1.6

合并因数。

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解题步骤 1.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$

解题步骤 1.6.2

将 $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{14 x - 3}}{7}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{14 x - 3}}{\sqrt{2 x} \cdot 7}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{7}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{14 x - 3}}{\sqrt{2 x}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{lim_{x \to 2} \sqrt{14 x - 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

解题步骤 2.3

将极限移入根号内。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 14 x - lim_{x \to 2} 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

解题步骤 2.5

因为项 $14$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

解题步骤 2.6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

解题步骤 2.7

将极限移入根号内。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x}}$

解题步骤 2.8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

解题步骤 3

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{14 \cdot 2 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $14$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{28 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{28 - 3}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.3

从 $28$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{4}}$

解题步骤 4.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 4.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{2}$

解题步骤 4.3

乘以 $\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{5}{2}$ 。

$\frac{5}{7 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{14}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{14}$

小数形式：

$0.3\overline{571428}$

微积分学 示例

微积分学示例