微积分学示例

$\int_{- 2}^{2} (| x - 1 | + 2) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 2}^{2} | x - 1 | + 2 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{2} | x - 1 | d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

解题步骤 3

根据 $x - 1$ 在某些位置是正的和负的，来分解积分。

$\int_{- 2}^{1} - x + 1 d x + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} d x + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} d x + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} d x + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \int_{1}^{2} x - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2} + \int_{- 2}^{2} 2 d x$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2} + 2 x]_{- 2}^{2}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ 和 $- x]_{1}^{2}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + x]_{- 2}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2} + 2 x]_{- 2}^{2}$

解题步骤 13.2

代入并化简。

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解题步骤 13.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$- ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + x]_{- 2}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2} + 2 x]_{- 2}^{2}$

解题步骤 13.2.2

计算 $x$ 在 $1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2 + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2} + 2 x]_{- 2}^{2}$

解题步骤 13.2.3

计算 $\frac{1}{2} x^{2} - x$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + 2 x]_{- 2}^{2}$

解题步骤 13.2.4

计算 $2 x$ 在 $2$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5

化简。

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解题步骤 13.2.5.1

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.5.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.5.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.3.2.2

约去公因数。

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.3.2.3

重写表达式。

$- (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} - 2) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.5

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.7

在公分母上合并分子。

$- \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.8

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.8.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1 - 4}{2} + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.8.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- \frac{- 3}{2} + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.9

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{3}{2} + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{3}{2}) + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.11

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} + 1 + 2 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.12

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3}{2} + 3 + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.13

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.14

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.15

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.16

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.16.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 + 6}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.16.2

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$\frac{9}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.17

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.18

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.19

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.5.19.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.19.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.5.19.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.19.2.2

约去公因数。

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.19.2.3

重写表达式。

$\frac{9}{2} + \frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.19.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{9}{2} + 2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.20

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9}{2} + 2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.21

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.22

一的任意次幂都为一。

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.23

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.24

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} - 1) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.25

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.26

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.27

在公分母上合并分子。

$\frac{9}{2} + 0 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.28

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.28.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{9}{2} + 0 - \frac{1 - 2}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.28.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{9}{2} + 0 - \frac{- 1}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.29

将负号移到分数的前面。

$\frac{9}{2} + 0 - - \frac{1}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.30

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9}{2} + 0 + 1 (\frac{1}{2}) + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.31

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9}{2} + 0 + \frac{1}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.32

将 $0$ 和 $\frac{1}{2}$ 相加。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.33

在公分母上合并分子。

$\frac{9 + 1}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.34

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$\frac{10}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.35

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.5.35.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{2} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.35.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.5.35.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.35.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.35.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{1} + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.35.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5 + (2 \cdot 2) - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.36

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$5 + 4 - 2 \cdot - 2$

解题步骤 13.2.5.37

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$5 + 4 + 4$

解题步骤 13.2.5.38

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$5 + 8$

解题步骤 13.2.5.39

将 $5$ 和 $8$ 相加。

$13$

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例