微积分学示例

$\int_{1}^{9} (2 x + \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{9} 2 x + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{9} 2 x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{9}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

代入并化简。

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解题步骤 7.1.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| x |)]_{1}^{9}$

解题步骤 7.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.1.3

化简。

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解题步骤 7.1.3.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$2 (\frac{81}{2} - \frac{1}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.1.3.3

在公分母上合并分子。

$2 \frac{81 - 1}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.1.3.4

从 $81$ 中减去 $1$ 。

$2 (\frac{80}{2}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.1.3.5

约去 $80$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.3.5.1

从 $80$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{2 \cdot 40}{2} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.1.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.3.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 (1)} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.1.3.5.2.2

约去公因数。

$2 \frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.1.3.5.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{40}{1}) + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.1.3.5.2.4

用 $40$ 除以 $1$ 。

$2 \cdot 40 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.1.3.6

将 $2$ 乘以 $40$ 。

$80 + \ln (| 9 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 7.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$80 + \ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $9$ 之间的距离为 $9$ 。

$80 + \ln (\frac{9}{| 1 |})$

解题步骤 7.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$80 + \ln (\frac{9}{1})$

解题步骤 7.3.3

用 $9$ 除以 $1$ 。

$80 + \ln (9)$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$80 + \ln (9)$

小数形式：

$82.19722457 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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