微积分学示例

$f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = \frac{x}{3}$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ ，以便 $3 d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = \frac{x}{3}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\frac{x}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.1.2

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$3 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{3}$ 。

$3 \int \cos (u_{1}) (1 \cdot 3) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 6.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 \int \cos (u_{1}) \cdot 3 d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 6.3

将 $3$ 移到 $\cos (u_{1})$ 的左侧。

$3 \int 3 \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 (3 \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 8

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 9

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\sin (u_{1})$ 。

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 10

使 $u_{2} = 3 x$ 。然后使 $d u_{2} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 10.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 11

组合 $\sin (u_{2})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 13

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $- \cos (u_{2})$ 。

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

解题步骤 14

化简。

$9 \sin (u_{1}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

解题步骤 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 15.1

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

解题步骤 15.2

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

解题步骤 17

答案是函数 $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

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