微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ 重写为 $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

乘以 $\sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3.1.1.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3.1.2

乘以 $\tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3.1.2.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

解题步骤 1.3.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 1.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 1.3.2

重新排序 $\tan (x) \sec (x)$ 的因式。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 1.3.3

将 $\sec (x) \tan (x)$ 和 $\sec (x) \tan (x)$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 3

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (x) \tan (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 5

因为 $\sec (x)$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ ，所以 $\sec (x) \tan (x)$ 的积分为 $\sec (x)$ 。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - 1 + \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - 1 d x + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 9

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x]_{0}^{\frac{π}{6}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $- x]_{0}^{\frac{π}{6}}$ 和 $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ 。

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}} + 2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 10.1.2

组合 $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ 和 $- x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$ 。

$2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + \tan (x) - x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 10.1.3

将 $\tan (x)$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$2 (\sec (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}) + - x + 2 \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\sec (x)$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((\sec (\frac{π}{6})) - \sec (0)) + - x + 2 \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 10.2.2

计算 $- x + 2 \tan (x)$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((\sec (\frac{π}{6})) - \sec (0)) + (- \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6})) - (- 0 + 2 \tan (0))$

解题步骤 10.2.3

化简。

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解题步骤 10.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - (0 + 2 \tan (0))$

解题步骤 10.2.3.2

将 $0$ 和 $2 \tan (0)$ 相加。

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - (2 \tan (0))$

解题步骤 10.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

$\sec (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - \sec (0)) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

解题步骤 10.3.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \tan (\frac{π}{6}) - 2 \tan (0)$

解题步骤 10.3.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \tan (0)$

解题步骤 10.3.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

解题步骤 10.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

解题步骤 10.3.6

要将 $2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

解题步骤 10.3.7

组合 $2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot 6}{6} - \frac{π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

解题步骤 10.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \cdot 6 - π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

解题步骤 10.3.9

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

解题步骤 10.3.10

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2 \cdot 0$

解题步骤 10.3.11

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 0$

解题步骤 10.3.12

将 $\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{12 (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) - π}{6} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$0.94050283 \dots$

微积分学 示例

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