微积分学示例

$\int \frac{2 x^{2} + 2 x + 11}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{2 x + 3}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(2 x + 3) (x^{2} + 4)$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.4

约去 $2 x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{(2 x + 3) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.5

约去 $x^{2} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 11) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.5.2

用 $2 x^{2} + 2 x + 11$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{(A) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.1

约去 $2 x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1.1

约去公因数。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = \frac{A (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{2 x + 3} + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6.1.2

用 $(A) (x^{2} + 4)$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6.2

运用分配律。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6.3

将 $4$ 移到 $A$ 的左侧。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6.4

约去 $x^{2} + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.4.1

约去公因数。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (2 x + 3) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.1.6.4.2

用 $(B x + C) (2 x + 3)$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (2 x + 3)$

解题步骤 1.1.6.5

使用 FOIL 方法展开 $(B x + C) (2 x + 3)$ 。

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解题步骤 1.1.6.5.1

运用分配律。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x + 3) + C (2 x + 3)$

解题步骤 1.1.6.5.2

运用分配律。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x + 3)$

解题步骤 1.1.6.5.3

运用分配律。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + B x (2 x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

解题步骤 1.1.6.6

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x \cdot x + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

解题步骤 1.1.6.6.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.6.2.1

移动 $x$ 。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B (x \cdot x) + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

解题步骤 1.1.6.6.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + B x \cdot 3 + C (2 x) + C \cdot 3$

解题步骤 1.1.6.6.3

将 $3$ 移到 $B x$ 的左侧。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 \cdot (B x) + C (2 x) + C \cdot 3$

解题步骤 1.1.6.6.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + C \cdot 3$

解题步骤 1.1.6.6.5

将 $3$ 移到 $C$ 的左侧。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 B x^{2} + 3 B x + 2 C x + 3 C$

解题步骤 1.1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.1.7.1

移动 $B$ 。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 B x + 2 C x + 3 C$

解题步骤 1.1.7.2

移动 $B$ 。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 4 A + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 3 C$

解题步骤 1.1.7.3

移动 $4 A$ 。

$2 x^{2} + 2 x + 11 = A x^{2} + 2 x^{2} B + 3 x B + 2 C x + 4 A + 3 C$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = A + 2 B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$11 = 4 A + 3 C$

解题步骤 1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$2 = A + 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $2 = A + 2 B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $A + 2 B = 2$ 。

$A + 2 B = 2$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

解题步骤 1.3.1.2

从等式两边同时减去 $2 B$ 。

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $2 - 2 B$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $2 - 2 B$ 替换 $11 = 4 A + 3 C$ 中所有出现的 $A$ .

$11 = 4 (2 - 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

运用分配律。

$11 = 4 \cdot 2 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$11 = 8 + 4 (- 2 B) + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$A = 2 - 2 B$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 和 $- 2 B$ 重新排序。

$A = - 2 B + 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.4

在 $A = - 2 B + 2$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

将方程重写为 $- 2 B + 2 = A$ 。

$- 2 B + 2 = A$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- 2 B = A - 2$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 2 B = A - 2$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 1.3.4.3.1

将 $- 2 B = A - 2$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.4.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.4.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = \frac{A}{- 2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{A}{2} + \frac{- 2}{- 2}$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.4.3.3.1.2

用 $- 2$ 除以 $- 2$ 。

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 8 - 8 B + 3 C$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- \frac{A}{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

使用 $- \frac{A}{2} + 1$ 替换 $11 = 8 - 8 B + 3 C$ 中所有出现的 $B$ .

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.2.1

化简 $8 - 8 (- \frac{A}{2} + 1) + 3 C$ 。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1.1

运用分配律。

$11 = 8 - 8 (- \frac{A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1.2.1

将 $- \frac{A}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$11 = 8 - 8 \frac{- A}{2} - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.2.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$11 = 8 + 2 (- 4) (\frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.2.3

约去公因数。

$11 = 8 + 2 \cdot (- 4 \frac{- A}{2}) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.2.4

重写表达式。

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 - 4 (- A) - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$11 = 8 + 4 A - 8 \cdot 1 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.4

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 8 + 4 A - 8 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5.2.1.2

合并 $8 + 4 A - 8 + 3 C$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.5.2.1.2.1

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$11 = 4 A + 0 + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5.2.1.2.2

将 $4 A$ 和 $0$ 相加。

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.5.3

使用 $- \frac{A}{2} + 1$ 替换 $2 = 3 B + 2 C$ 中所有出现的 $B$ .

$2 = 3 (- \frac{A}{2} + 1) + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.5.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.4.1.1

运用分配律。

$2 = 3 (- \frac{A}{2}) + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.5.4.1.2

乘以 $3 (- \frac{A}{2})$ 。

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解题步骤 1.3.5.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 = - 3 \frac{A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.5.4.1.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{A}{2}$ 。

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 \cdot 1 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.5.4.1.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 = \frac{- 3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.5.4.1.4

将负号移到分数的前面。

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6

在 $2 = - \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

将方程重写为 $- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$ 。

$- \frac{3 A}{2} + 3 + 2 C = 2$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.6.2.1

在等式两边都加上 $\frac{3 A}{2}$ 。

$3 + 2 C = 2 + \frac{3 A}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6.2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 C = 2 + \frac{3 A}{2} - 3$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6.2.3

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$2 C = \frac{3 A}{2} - 1$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6.3

将 $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.3.6.3.1

将 $2 C = \frac{3 A}{2} - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.6.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 C}{2} = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{\frac{3 A}{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.6.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.6.3.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$C = \frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6.3.3.1.2

乘以 $\frac{3 A}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.6.3.3.1.2.1

将 $\frac{3 A}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$C = \frac{3 A}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6.3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} + \frac{- 1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.6.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$11 = 4 A + 3 C$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用 $\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ 替换 $11 = 4 A + 3 C$ 中所有出现的 $C$ .

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.7.2.1

化简 $4 A + 3 (\frac{3 A}{4} - \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 1.3.7.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.7.2.1.1.1

运用分配律。

$11 = 4 A + 3 (\frac{3 A}{4}) + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.1.2

乘以 $3 \frac{3 A}{4}$ 。

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解题步骤 1.3.7.2.1.1.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{3 A}{4}$ 。

$11 = 4 A + \frac{3 (3 A)}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.1.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.1.3

乘以 $3 (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 1.3.7.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.1.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} + \frac{- 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.1.4

将负号移到分数的前面。

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = 4 A + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.2

要将 $4 A$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$11 = 4 A \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.3

化简项。

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解题步骤 1.3.7.2.1.3.1

组合 $4 A$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$11 = \frac{4 A \cdot 4}{4} + \frac{9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.3.2

在公分母上合并分子。

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{4 A \cdot 4 + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.3.7.2.1.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.3.7.2.1.4.1.1

从 $4 A \cdot 4 + 9 A$ 中分解出因数 $A$ 。

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解题步骤 1.3.7.2.1.4.1.1.1

从 $4 A \cdot 4$ 中分解出因数 $A$ 。

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + 9 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.4.1.1.2

从 $9 A$ 中分解出因数 $A$ 。

$11 = \frac{A (4 \cdot 4) + A \cdot 9}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.4.1.1.3

从 $A (4 \cdot 4) + A \cdot 9$ 中分解出因数 $A$ 。

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A (4 \cdot 4 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.4.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$11 = \frac{A (16 + 9)}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.4.1.3

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{A \cdot 25}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.7.2.1.4.2

将 $25$ 移到 $A$ 的左侧。

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8

在 $11 = \frac{25 A}{4} - \frac{3}{2}$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

将方程重写为 $\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$ 。

$\frac{25 A}{4} - \frac{3}{2} = 11$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.8.2.1

在等式两边都加上 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{25 A}{4} = 11 + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.2.2

要将 $11$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{25 A}{4} = 11 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.2.3

组合 $11$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{25 A}{4} = \frac{11 \cdot 2 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.3.8.2.5.1

将 $11$ 乘以 $2$ 。

$\frac{25 A}{4} = \frac{22 + 3}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.2.5.2

将 $22$ 和 $3$ 相加。

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{25 A}{4} = \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.3

等式两边同时乘以 $\frac{4}{25}$ 。

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.4

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.8.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.8.4.1.1

化简 $\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4}$ 。

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解题步骤 1.3.8.4.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.8.4.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 A}{4} = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.4.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.4.1.1.2

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.8.4.1.1.2.1

从 $25 A$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{1}{25} \cdot (25 (A)) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{25} \cdot (25 A) = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.4.1.1.2.3

重写表达式。

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.8.4.2.1

化简 $\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.8.4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.8.4.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$A = \frac{2 (2)}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.4.2.1.1.2

约去公因数。

$A = \frac{2 \cdot 2}{25} \cdot \frac{25}{2}$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.4.2.1.1.3

重写表达式。

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.4.2.1.2

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.8.4.2.1.2.1

约去公因数。

$A = \frac{2}{25} \cdot 25$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.8.4.2.1.2.2

重写表达式。

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$A = 2$

$C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.9

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

使用 $2$ 替换 $C = \frac{3 A}{4} - \frac{1}{2}$ 中所有出现的 $A$ .

$C = \frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.9.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.9.2.1

化简 $\frac{3 (2)}{4} - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.9.2.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$C = \frac{6}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.9.2.1.2

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.9.2.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$C = \frac{2 (3)}{4} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.9.2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.9.2.1.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.9.2.1.2.2.2

约去公因数。

$C = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.9.2.1.2.2.3

重写表达式。

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.9.2.1.3

在公分母上合并分子。

$C = \frac{3 - 1}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.9.2.1.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.9.2.1.4.1

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$C = \frac{2}{2}$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.9.2.1.4.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - \frac{A}{2} + 1$

解题步骤 1.3.9.3

使用 $2$ 替换 $B = - \frac{A}{2} + 1$ 中所有出现的 $A$ .

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

解题步骤 1.3.9.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.9.4.1

化简 $- \frac{2}{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.3.9.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.9.4.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.9.4.1.1.1.1

约去公因数。

$B = - \frac{2}{2} + 1$

$C = 1$

$A = 2$

解题步骤 1.3.9.4.1.1.1.2

重写表达式。

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 \cdot 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

解题步骤 1.3.9.4.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

$B = - 1 + 1$

$C = 1$

$A = 2$

解题步骤 1.3.9.4.1.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 0$

$C = 1$

$A = 2$

解题步骤 1.3.10

列出所有解。

$B = 0, C = 1, A = 2$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2}{2 x + 3} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1.5.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{2}{2 x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{2}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{2 x + 3} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 4

使 $u = 2 x + 3$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 2 x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 5.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$1 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 7.3

将 $\int \frac{1}{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $x^{2}$ 和 $4$ 重新排序。

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 9.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\ln (| u |) + C + \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 10

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ 。

$\ln (| u |) + C + \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{x}{2})$ 。

$\ln (| u |) + C + \frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$

解题步骤 11.2

化简。

$\ln (| u |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 12

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| 2 x + 3 |) + \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

微积分学 示例

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