微积分学示例

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) e^{x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2} - 1$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} (2 x) d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x)$

解题步骤 3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

解题步骤 5

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

计算 $(x^{2} - 1) e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

解题步骤 6.2

计算 $x e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

解题步骤 6.3

计算 $e^{x}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.4

一的任意次幂都为一。

$(1 - 1) e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.6

化简。

$0 e - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.7

将 $0$ 乘以 $e$ 。

$0 - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - (0 - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.9

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$0 - - 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.11

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 1 \cdot 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.12

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.13

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.14

化简。

$1 - 2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.15

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$1 - 2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.16

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 - 2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.17

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$1 - 2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.18

将 $e$ 和 $0$ 相加。

$1 - 2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

解题步骤 6.19

化简。

$1 - 2 (e - (e - e^{0}))$

解题步骤 6.20

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 - 2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

解题步骤 6.21

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 2 (e - (e - 1))$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$1 - 2 (e - (e - 1))$

小数形式：

$- 1$

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