微积分学示例

$\frac{1}{\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}$ 重写成 ${(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}$ 重写为 ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.3

将 ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.3.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{5}}]$

解题步骤 1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{5}}$ 且 $g (x) = 8 x^{2} - 2$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x^{2} - 2$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{5}$ 。

$- \frac{1}{5} u^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 2.3

使用 $8 x^{2} - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 6.2

从 $- 1$ 中减去 $5$ 。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 7.2

组合 ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

解题步骤 8

根据加法法则， $8 x^{2} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 9

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 11

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 12

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + 0)$

解题步骤 13

合并分数。

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解题步骤 13.1

将 $16 x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x)$

解题步骤 13.2

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$- 16 \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

解题步骤 13.3

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ 。

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

解题步骤 13.4

组合 $\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 13.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

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