微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} + 2 x}}{x}$

解题步骤 1

从 $5 x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1

从 $5 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x) + 2 x}}{x}$

解题步骤 1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x) + x \cdot 2}}{x}$

解题步骤 1.3

从 $x (5 x) + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x + 2)}}{x}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}$

解题步骤 3

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x^{2}}}}{1}$

解题步骤 4

约去公因数。

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解题步骤 4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x \cdot x}}}{1}$

解题步骤 4.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x \cdot x}}}{1}$

解题步骤 4.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x + 2}{x}}}{1}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 x + 2}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 5.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 2}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.1.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 9.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{1}}}{1}$

解题步骤 9.3

化简答案。

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解题步骤 9.3.1

用 $5 + 2 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{5 + 2 \cdot 0}}{1}$

解题步骤 9.3.2

用 $\sqrt{5 + 2 \cdot 0}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{5 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 9.3.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\sqrt{5 + 0}$

解题步骤 9.3.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{5}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{5}$

小数形式：

$2.23606797 \dots$

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