微积分学示例

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{(x^{3} + 1)}{x} d x$

解题步骤 1

将分数分解成多个分数。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{3}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2.3

约去公因数。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2.4

重写表达式。

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x^{2}}{1} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2.5

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\int_{1}^{e^{2}} x^{2} d x + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e^{2}}$ 和 $\ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)]_{1}^{e^{2}}$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} + \ln (| x |)$ 在 $e^{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} {(e^{2})}^{3} + \ln (| e^{2} |)) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 ${(e^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} e^{2 \cdot 3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} e^{6} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{6}$ 。

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.2.2.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{6}}{3} + \ln (| e^{2} |) - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.2.2.5

要将 $- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{e^{6}}{3} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

解题步骤 6.2.2.6

组合 $- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

解题步骤 6.2.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{6} - (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} + \ln (| e^{2} |)$

解题步骤 6.2.2.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (| e^{2} |)$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

$e^{2}$ 约为 $7.38905609$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + \ln (e^{2})$

解题步骤 7.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{2})$ 。

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \ln (e)$

解题步骤 7.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2 \cdot 1$

解题步骤 7.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{e^{6} - 3 (\frac{1}{3} + \ln (| 1 |))}{3} + 2$

小数形式：

$136.14293116 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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