微积分学示例

$\frac{x^{4}}{{(6 x + 1)}^{3}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = {(6 x + 1)}^{3}$ 。

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{({(6 x + 1)}^{3})}^{2}}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${({(6 x + 1)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 2.3

将 $4$ 移到 ${(6 x + 1)}^{3}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 6 x + 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 x + 1$ 。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.3

使用 $6 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (3 {(6 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $6 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 4.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 4.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 4.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 + 0))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 4.7

化简表达式。

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解题步骤 4.7.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} \cdot 6)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 4.7.2

将 $6$ 移到 ${(6 x + 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} (6 \cdot {(6 x + 1)}^{2})}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 4.7.3

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

从 $4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

从 $4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3}$ 中分解出因数 $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ 。

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 5.1.1.2

从 $- 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ 。

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) + 2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (- 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 5.1.1.3

从 $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) + 2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (- 9 x)$ 中分解出因数 $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ 。

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1) - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x) + 2 \cdot 1 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 5.1.3

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (12 x + 2 \cdot 1 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (12 x + 2 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 5.1.5

从 $12 x$ 中减去 $9 x$ 。

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 5.2

约去 ${(6 x + 1)}^{2}$ 和 ${(6 x + 1)}^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (3 x + 2)$ 中分解出因数 ${(6 x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 ${(6 x + 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(6 x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{2} {(6 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{2} {(6 x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$

微积分学 示例

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