微积分学示例

$y = \arctan (4 x^{2} - 3)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arctan (4 x^{2} - 3))$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \arctan (y)$ 且 $g (y) = 4 x^{2} - 3$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x^{2} - 3$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

解题步骤 3.1.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

解题步骤 3.1.3

使用 $4 x^{2} - 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} \frac{d}{d y} [4 x^{2} - 3]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $4 x^{2} - 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

解题步骤 3.2.2

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 3])$

解题步骤 3.5

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + \frac{d}{d y} [- 3])$

解题步骤 3.6

因为 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x' + 0)$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将 $8 x x'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (8 x x')$

解题步骤 3.7.2

组合 $8$ 和 $\frac{1}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} (x x')$

解题步骤 3.7.3

组合 $x$ 和 $\frac{8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}} x'$

解题步骤 3.7.4

组合 $\frac{x \cdot 8}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$ 和 $x'$ 。

$\frac{x \cdot 8 x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.7.5

将 $8$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{8 \cdot x x'}{1 + {(4 x^{2} - 3)}^{2}}$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

重新排序项。

$\frac{8 x x'}{{(4 x^{2} - 3)}^{2} + 1}$

解题步骤 3.8.2

化简分母。

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解题步骤 3.8.2.1

将 ${(4 x^{2} - 3)}^{2}$ 重写为 $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ 。

$\frac{8 x x'}{(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3) + 1}$

解题步骤 3.8.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} - 3) (4 x^{2} - 3)$ 。

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解题步骤 3.8.2.2.1

运用分配律。

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2} - 3) - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

解题步骤 3.8.2.2.2

运用分配律。

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2} - 3) + 1}$

解题步骤 3.8.2.2.3

运用分配律。

$\frac{8 x x'}{4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 3.8.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.8.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.2.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.8.2.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 x x'}{4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 3 - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 3 (4 x^{2}) - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.5

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 1}$

解题步骤 3.8.2.3.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 12 x^{2} - 12 x^{2} + 9 + 1}$

解题步骤 3.8.2.3.2

从 $- 12 x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 9 + 1}$

解题步骤 3.8.2.4

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 x x'}{16 x^{4} - 24 x^{2} + 10}$

解题步骤 3.8.2.5

从 $16 x^{4} - 24 x^{2} + 10$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.8.2.5.1

从 $16 x^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) - 24 x^{2} + 10}$

解题步骤 3.8.2.5.2

从 $- 24 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 10}$

解题步骤 3.8.2.5.3

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (5)}$

解题步骤 3.8.2.5.4

从 $2 (8 x^{4}) + 2 (- 12 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)}$

解题步骤 3.8.2.5.5

从 $2 (8 x^{4} - 12 x^{2}) + 2 (5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 x x'}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

解题步骤 3.8.3

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.1

从 $8 x x'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

解题步骤 3.8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.8.3.2.1

约去公因数。

$\frac{2 (4 x x')}{2 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)}$

解题步骤 3.8.3.2.2

重写表达式。

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = \frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5}$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$ 。

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} = 1$

解题步骤 5.2

两边同时乘以 $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ 。

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

约去 $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x x'}{8 x^{4} - 12 x^{2} + 5} (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5) = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

解题步骤 5.3.1.1.2

重写表达式。

$4 x x' = 1 (8 x^{4} - 12 x^{2} + 5)$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ 乘以 $1$ 。

$4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$

解题步骤 5.4

将 $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ 中的每一项除以 $4 x$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $4 x x' = 8 x^{4} - 12 x^{2} + 5$ 中的每一项都除以 $4 x$ 。

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x x'}{4 x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x x'}{x} = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{8 x^{4}}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1.1

从 $8 x^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 (x)} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2.2

约去公因数。

$x' = \frac{4 (2 x^{4})}{4 x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2.3

重写表达式。

$x' = \frac{2 x^{4}}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.2

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.2.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2.3

约去公因数。

$x' = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2.4

重写表达式。

$x' = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2.5

用 $2 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 12 x^{2}}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.3

约去 $- 12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.3.1

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.3.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 (x)} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2.2

约去公因数。

$x' = 2 x^{3} + \frac{4 (- 3 x^{2})}{4 x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.3.2.3

重写表达式。

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.4

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.4.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.4.2.3

约去公因数。

$x' = 2 x^{3} + \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.4.2.4

重写表达式。

$x' = 2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 5.4.3.1.4.2.5

用 $- 3 x$ 除以 $1$ 。

$x' = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{3} - 3 x + \frac{5}{4 x}$

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