微积分学示例

$3^{4 - 11 x}$

解题步骤 1

将 $3^{4 - 11 x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3^{4 - 11 x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 3^{4 - 11 x} d x$

解题步骤 4

使 $u = 4 - 11 x$ 。然后使 $d u = - 11 d x$ ，以便 $- \frac{1}{11} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 4 - 11 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $4 - 11 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 - 11 x]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $4 - 11 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 11 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 11 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 11$ 乘以 $1$ 。

$0 - 11$

解题步骤 4.1.4

从 $0$ 中减去 $11$ 。

$- 11$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 3^{u} \cdot \frac{1}{- 11} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将负号移到分数的前面。

$\int 3^{u} \cdot (- \frac{1}{11}) d u$

解题步骤 5.2

组合 $3^{u}$ 和 $\frac{1}{11}$ 。

$\int - \frac{3^{u}}{11} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{3^{u}}{11} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{11}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{11}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{11} \int 3^{u} d u)$

解题步骤 8

$3^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ 。

$- \frac{1}{11} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $- \frac{1}{11} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ 。

$- \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $\frac{1}{\ln (3)}$ 乘以 $\frac{1}{11}$ 。

$- \frac{1}{\ln (3) \cdot 11} \cdot 3^{u} + C$

解题步骤 9.2.2

将 $11$ 移到 $\ln (3)$ 的左侧。

$- \frac{1}{11 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

解题步骤 10

使用 $4 - 11 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{11 \ln (3)} \cdot 3^{4 - 11 x} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = 3^{4 - 11 x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{11 \ln (3)} \cdot 3^{4 - 11 x} + C$

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