微积分学示例

$lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

解题步骤 6

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

解题步骤 10

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cos (0) + \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

解题步骤 10.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cos (0) + \frac{0 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

解题步骤 10.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cos (0) + \frac{0 - 1 \cdot 4}{0^{2} + 1}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$2 \cos (0) + \frac{0 - 4}{0^{2} + 1}$

解题步骤 11.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$2 \cos (0) + \frac{- 4}{0^{2} + 1}$

解题步骤 11.3

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{- 4}{0^{2} + 1}$

解题步骤 11.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{- 4}{0^{2} + 1}$

解题步骤 11.3.3

化简分母。

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解题步骤 11.3.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 + \frac{- 4}{0 + 1}$

解题步骤 11.3.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$2 + \frac{- 4}{1}$

解题步骤 11.3.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$2 - 4$

解题步骤 11.4

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$- 2$

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