微积分学示例

$z = {(20 x - x y)}^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ({(20 x - x y)}^{3})$

解题步骤 2

$z$ 对 $x$ 的导数为 $z'$ 。

$z'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 20 x - x y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $20 x - x y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $20 x - x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(20 x - x y)}^{2} \frac{d}{d x} [20 x - x y]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $20 x - x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x y]$ 。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x y])$

解题步骤 3.2.2

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y])$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y])$

解题步骤 3.2.4

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 + \frac{d}{d x} [- x y])$

解题步骤 3.2.5

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y \cdot 1)$

解题步骤 3.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 {(20 x - x y)}^{2} (20 - y)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$3 {(20 x - x y)}^{2} \cdot 20 + 3 {(20 x - x y)}^{2} (- y)$

解题步骤 3.3.2

合并项。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$60 {(20 x - x y)}^{2} + 3 {(20 x - x y)}^{2} (- y)$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 {(20 x - x y)}^{2} y$

解题步骤 3.3.3

重新排序项。

$60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$z' = 60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d z}{d x}$ 替换 $z'$ 。

$\frac{d z}{d x} = 60 {(20 x - x y)}^{2} - 3 y {(20 x - x y)}^{2}$

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