微积分学示例

$y = 4 \cos (- 5 x^{2})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 \cos (- 5 x^{2}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \cos (- 5 x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\cos (- 5 x^{2})]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\cos (- 5 x^{2})]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = - 5 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 5 x^{2}$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])$

解题步骤 3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])$

解题步骤 3.2.3

使用 $- 5 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- \sin (- 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 (\sin (- 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])$

解题步骤 3.3.2

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 \sin (- 5 x^{2}) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

将 $- 5$ 乘以 $- 4$ 。

$20 \sin (- 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$20 \sin (- 5 x^{2}) (2 x)$

解题步骤 3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $2$ 乘以 $20$ 。

$40 \sin (- 5 x^{2}) x$

解题步骤 3.3.5.2

重新排序 $40 \sin (- 5 x^{2}) x$ 的因式。

$40 x \sin (- 5 x^{2})$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 40 x \sin (- 5 x^{2})$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 40 x \sin (- 5 x^{2})$

微积分学 示例

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