微积分学示例

$(- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$

解题步骤 1

将 $(- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x d x$

解题步骤 4

由于 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $d$ 移到积分外。

$d \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) x d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$d \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3}) x - 15 x d x$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$d \int (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6}) x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$d \int - 9 x^{\frac{4}{5}} x + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

解题步骤 5.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int - 9 (x^{\frac{4}{5}} x^{1}) + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

解题步骤 5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int - 9 x^{\frac{4}{5} + 1} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

解题步骤 5.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$d \int - 9 x^{\frac{4}{5} + \frac{5}{5}} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

解题步骤 5.7

在公分母上合并分子。

$d \int - 9 x^{\frac{4 + 5}{5}} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

解题步骤 5.8

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 6} x + 9 x^{3} x - 15 x d x$

解题步骤 5.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 (x^{- 6} x^{1}) + 9 x^{3} x - 15 x d x$

解题步骤 5.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 6 + 1} + 9 x^{3} x - 15 x d x$

解题步骤 5.11

将 $- 6$ 和 $1$ 相加。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 x^{3} x - 15 x d x$

解题步骤 5.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 (x^{3} x^{1}) - 15 x d x$

解题步骤 5.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 x^{3 + 1} - 15 x d x$

解题步骤 5.14

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$d \int - 9 x^{\frac{9}{5}} + 3 x^{- 5} + 9 x^{4} - 15 x d x$

解题步骤 5.15

将 $- 9 x^{\frac{9}{5}}$ 和 $3 x^{- 5}$ 重新排序。

$d \int 3 x^{- 5} - 9 x^{\frac{9}{5}} + 9 x^{4} - 15 x d x$

解题步骤 5.16

移动 $- 9 x^{\frac{9}{5}}$ 。

$d \int 3 x^{- 5} + 9 x^{4} - 9 x^{\frac{9}{5}} - 15 x d x$

解题步骤 5.17

将 $3 x^{- 5}$ 和 $9 x^{4}$ 重新排序。

$d \int 9 x^{4} + 3 x^{- 5} - 9 x^{\frac{9}{5}} - 15 x d x$

解题步骤 5.18

移动 $- 9 x^{\frac{9}{5}}$ 。

$d \int 9 x^{4} + 3 x^{- 5} - 15 x - 9 x^{\frac{9}{5}} d x$

解题步骤 5.19

移动 $3 x^{- 5}$ 。

$d \int 9 x^{4} - 15 x + 3 x^{- 5} - 9 x^{\frac{9}{5}} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$d (\int 9 x^{4} d x + \int - 15 x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 7

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$d (9 \int x^{4} d x + \int - 15 x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 15 x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 9

由于 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 15$ 移到积分外。

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 \int x d x + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 11

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 \int x^{- 5} d x + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{- 5}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 。

$d (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 13.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 13.3

组合 $x^{- 4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 13.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - 9 x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 14

由于 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 9$ 移到积分外。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 9 \int x^{\frac{9}{5}} d x)$

解题步骤 15

根据幂法则， $x^{\frac{9}{5}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{5}{14} x^{\frac{14}{5}}$ 。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 9 (\frac{5}{14} x^{\frac{14}{5}} + C))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

组合 $\frac{5}{14}$ 和 $x^{\frac{14}{5}}$ 。

$d (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 15 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 9 (\frac{5 x^{\frac{14}{5}}}{14} + C))$

解题步骤 16.2

化简。

$d (\frac{9 x^{5}}{5} - \frac{15 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{45 x^{\frac{14}{5}}}{14}) + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$d (\frac{9}{5} x^{5} - \frac{15}{2} x^{2} - \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{45}{14} x^{\frac{14}{5}}) + C$

解题步骤 18

答案是函数 $f (x) = (- 9 x^{\frac{4}{5}} + 3 x^{- 6} + 9 x^{3} - 15) d x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $d (\frac{9}{5} x^{5} - \frac{15}{2} x^{2} - \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{45}{14} x^{\frac{14}{5}}) + C$

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