微积分学示例

$\sqrt{x + 2 y} = 5 y$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2 y}$ 重写成 ${(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 y)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 2 y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 2 y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x + 2 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 2 y)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $x + 2 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

解题步骤 3.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.10

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 y')$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 2 y')$ 的因式。

$(1 + 2 y') \frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.11.2

将 $1 + 2 y'$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 y$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 4.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$5 y'$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = 5 y'$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

两边同时乘以 $2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

化简 $\frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{1 + 2 y'}{2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1 + 2 y'}{{(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.3

约去 ${(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1 + 2 y'}{{(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.3.2

重写表达式。

$1 + 2 y' = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.1.1.4

将 $1$ 和 $2 y'$ 重新排序。

$2 y' + 1 = 5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 $5 y' (2 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 y' + 1 = 5 \cdot 2 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$2 y' + 1 = 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 y' + 1 - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 6.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 y' - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

解题步骤 6.3.3

从 $2 y' - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $2 y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' \cdot 1 - 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

解题步骤 6.3.3.2

从 $- 10 y' {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' \cdot 1 + 2 y' (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

解题步骤 6.3.3.3

从 $2 y' \cdot 1 + 2 y' (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$

解题步骤 6.3.4

将 $2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ 中的每一项除以 $2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.4.1

将 $2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1$ 中的每一项都除以 $2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.4.2.1

从 $2 y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.4.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1) - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.2.2.2

从 $- 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.2.2.3

从 $2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.2.2.4

约去公因数。

$\frac{2 (y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.2.2.5

重写表达式。

$\frac{y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.2.3

约去公因数。

$\frac{y' (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.2.4

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 1}{2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.4.3.1

从 $2 - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.3.4.3.1.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{- 1}{2 (1) - 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.4.3.1.2

从 $- 10 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{- 1}{2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.4.3.1.3

从 $2 (1) + 2 (- 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{- 1}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.4.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{1}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 (1 - 5 {(x + 2 y)}^{\frac{1}{2}})}$

微积分学 示例

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