微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (3 x) - x^{3}}{4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 \tan (3 x) - x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 \tan (3 x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 0} \tan (3 x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.3

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{3 \tan (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 \tan (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{3 \tan (3 lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \tan (3 \cdot 0) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \tan (3 \cdot 0) - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3 \tan (0) - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.7.1.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3 \cdot 0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.7.1.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.7.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.2.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \ln (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

解题步骤 1.3.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \ln (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

解题步骤 1.3.3

将极限移入对数中。

$\frac{0}{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

解题步骤 1.3.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{4 \ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

解题步骤 1.3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{4 \ln (1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

解题步骤 1.3.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x^{3}}$

解题步骤 1.3.7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.3.8

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.3.9

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.9.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.3.9.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 \ln (1 - 2 \cdot 0) - 3 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.10

化简答案。

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解题步骤 1.3.10.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.10.1.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{4 \ln (1 + 0) - 3 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.10.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{4 \ln (1) - 3 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.10.1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.10.1.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.10.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.10.1.6

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.3.10.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.10.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.11

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (3 x) - x^{3}}{4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x) - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x) - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $3 \tan (3 x) - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \tan (3 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \tan (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.2.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\sec^{2} (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.6

将 $3$ 移到 $\sec^{2} (3 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \sec^{2} (3 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.7

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) - \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) - (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.4.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \sec^{2} (3 x) - 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $4 \ln (1 - 2 x) - 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [4 \ln (1 - 2 x)]$ 。

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解题步骤 3.7.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (1 - 2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 \frac{d}{d x} [\ln (1 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 - 2 x$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.2.3

使用 $1 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.3

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.8

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (\frac{1}{1 - 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.9

组合 $\frac{1}{1 - 2 x}$ 和 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 \frac{- 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{4 (- \frac{2}{1 - 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.11

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- 4 \frac{2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.12

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{1 - 2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 4 \cdot 2}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.13

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.14

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

解题步骤 3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.8.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 3 (3 x^{2})}$

解题步骤 3.8.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 9 x^{2}}$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

合并项。

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解题步骤 3.9.1.1

要将 $- 9 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

解题步骤 3.9.1.2

组合 $- 9 x^{2}$ 和 $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{- \frac{8}{1 - 2 x} + \frac{- 9 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}$

解题步骤 3.9.1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 8 - 9 x^{2} (1 - 2 x)}{1 - 2 x}}$

解题步骤 3.9.2

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)}{\frac{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}{- 2 x + 1}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} (- 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x)) \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 9 \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(- lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 9 \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(- 3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 9 \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 9 \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 9

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (3 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 11

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 12

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \frac{- 2 x + 1}{- 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 13

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 2 x + 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 14

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 15

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 16

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} - 9 x^{2} (1 - 2 x) - 8}$

解题步骤 17

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- lim_{x \to 0} 9 x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

解题步骤 18

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

解题步骤 19

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 8}$

解题步骤 20

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - 2 x - lim_{x \to 0} 8}$

解题步骤 21

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

解题步骤 22

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 8}$

解题步骤 23

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8}$

解题步骤 24

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$(- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 25

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 25.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 25.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 lim_{x \to 0} x + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 25.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 1}{- 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 25.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 25.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{- 2 \cdot 0 + 1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 26

化简答案。

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解题步骤 26.1

化简分子。

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解题步骤 26.1.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{0 + 1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 26.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 9 \cdot 0^{2} \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 26.2

化简分母。

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解题步骤 26.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 9 \cdot 0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 26.2.2

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 \cdot (1 - 2 \cdot 0) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 26.2.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 8}$

解题步骤 26.2.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 26.2.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 - 1 \cdot 8}$

解题步骤 26.2.6

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{0 - 8}$

解题步骤 26.2.7

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$(- 3 \cdot 0^{2} + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

解题步骤 26.3

化简每一项。

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解题步骤 26.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$(- 3 \cdot 0 + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

解题步骤 26.3.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$(0 + 9 \sec^{2} (3 \cdot 0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

解题步骤 26.3.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$(0 + 9 \sec^{2} (0)) \cdot \frac{1}{- 8}$

解题步骤 26.3.4

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$(0 + 9 \cdot 1^{2}) \cdot \frac{1}{- 8}$

解题步骤 26.3.5

一的任意次幂都为一。

$(0 + 9 \cdot 1) \cdot \frac{1}{- 8}$

解题步骤 26.3.6

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$(0 + 9) \cdot \frac{1}{- 8}$

解题步骤 26.4

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$9 \cdot \frac{1}{- 8}$

解题步骤 26.5

将负号移到分数的前面。

$9 \cdot (- \frac{1}{8})$

解题步骤 26.6

乘以 $9 (- \frac{1}{8})$ 。

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解题步骤 26.6.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- 9 (\frac{1}{8})$

解题步骤 26.6.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{- 9}{8}$

解题步骤 26.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{8}$

微积分学 示例

微积分学示例