微积分学示例

$\int \frac{12 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} + 6}} d x$

解题步骤 1

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} + 6}} d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{3} + 6$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x^{3} + 6$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{3} + 6$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 6]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x^{3} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.1.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

解题步骤 3.2

将 $3$ 移到 $\sqrt[3]{u}$ 的左侧。

$12 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $12$ 。

$\frac{12}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 5.1.2

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 5.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 5.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 5.1.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$4 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 5.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$4 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

解题步骤 5.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$4 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $4 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ 重写为 $4 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ 。

$4 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.3

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 7.2.3.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$6 u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 8

使用 $x^{3} + 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 {(x^{3} + 6)}^{\frac{2}{3}} + C$

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