微积分学示例

$\ln (2 + \sin (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 + \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 + \sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $2 + \sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{1}{2 + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 + \sin (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 相加。

$\frac{1}{2 + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{2 + \sin (x)} \cos (x)$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{2 + \sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$

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