微积分学示例

$\frac{x}{4} \arcsin (x)$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{x}{4}$ 和 $\arcsin (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \arcsin (x)}{4}]$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x \arcsin (x)}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x \arcsin (x)]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x \arcsin (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \arcsin (x)$ 。

$\frac{1}{4} (x \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

$\arcsin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{4} (x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \cdot 1)$

解题步骤 4.3

将 $\arcsin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{4} \arcsin (x)$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{x}{4 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{4} \arcsin (x)$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{1}{4} \arcsin (x) + \frac{x}{4 \sqrt{1 - x^{2}}}$

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