微积分学示例

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 2.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 1 + x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 1 + x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}}{2}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $- u^{- 1}$ 在 $1 + t^{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

解题步骤 8.2

一的任意次幂都为一。

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

从 $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{2}$

解题步骤 9.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

解题步骤 9.3

从 $- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{2}$

解题步骤 9.4

将 $- ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ 重写为 $- 1 ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{2}$

解题步骤 9.5

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} - \frac{{(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{2}$

解题步骤 10

计算极限值。

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解题步骤 10.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{2}$

解题步骤 10.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

解题步骤 10.3

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 10.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 10.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{1 + t^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 10.6

计算极限值。

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解题步骤 10.6.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.6.2

化简答案。

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解题步骤 10.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

解题步骤 10.6.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 10.6.2.3

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 10.6.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 10.6.2.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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