微积分学示例

$\int \frac{4 x^{3} - 8 x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 3

展开 $(4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2}) x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int 4 x^{3} x^{- 2} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{3 - 2} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\int 4 x^{1} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.5

化简。

$\int 4 x - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x - 8 x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.7

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int 4 x - 8 x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int 4 x - 8 \cdot 1 + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.9

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$\int 4 x - 8 + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.10

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\int 4 x - 8 + x^{- 2} d x$

解题步骤 3.11

移动 $- 8$ 。

$\int 4 x + x^{- 2} - 8 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 8 d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 8 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C - 8 x + C$

解题步骤 10

化简。

$2 x^{2} - \frac{1}{x} - 8 x + C$

微积分学 示例

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