微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x^{2} - 8 x + 3}$

解题步骤 1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x^{2} - 8 x + 3}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

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解题步骤 3.1.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3.2

约去公因数。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3.3

重写表达式。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{- 8 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{x \cdot - 8}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.2.2

约去公因数。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.2.3

重写表达式。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{- 8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.3

将负号移到分数的前面。

$4 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$4 \frac{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{8}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 5.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$4 \frac{0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 5.3

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{0}{1 - 8 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$4 \frac{0}{1 - 8 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{0}{1 - 8 \cdot 0 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$4 \frac{0}{1 - 8 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分母。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{0}{1 + 0 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{0}{1 + 0 + 0}$

解题步骤 9.1.3

将 $1 + 0$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{0}{1 + 0}$

解题步骤 9.1.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 (\frac{0}{1})$

解题步骤 9.2

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 \cdot 0$

解题步骤 9.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0$

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