微积分学示例

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

解题步骤 1

使 $u = a^{4} + x^{4}$ 。然后使 $d u = 4 x^{3} d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = a^{4} + x^{4}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $a^{4} + x^{4}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $a^{4} + x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $a^{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a^{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$0 + 4 x^{3}$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $4 x^{3}$ 相加。

$4 x^{3}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = a^{4} + x^{4}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = a^{4} + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $a^{4}$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = a^{4}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = a^{4} + x^{4}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

解题步骤 1.5

将 $a^{4}$ 和 $a^{4}$ 相加。

$u_{upper} = 2 a^{4}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

解题步骤 2.2

将 $4$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $2 a^{4}$ 处和在 $a^{4}$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

从 $2 a^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2

对 $2 (a^{4})$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3

将 ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.4

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.9

将 ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 6.2.9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

解题步骤 7.2

乘以 $\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ 。

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解题步骤 7.2.1

组合 $2^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ 和 $a^{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

解题步骤 7.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

解题步骤 7.3.2

从 $- 2 a^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

解题步骤 7.3.3

约去公因数。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

解题步骤 7.3.4

重写表达式。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

解题步骤 7.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $a^{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$

微积分学 示例

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