微积分学示例

$\frac{\ln (3 x)}{x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (3 x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{3 x}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\frac{1}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4

化简项。

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解题步骤 3.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{\frac{3}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{3}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2

重写表达式。

$\frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{d}{d x} [x]$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - \ln (3 x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \ln (3 x)}{x^{2}}$

微积分学 示例

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