微积分学示例

$x \sqrt{1 - x}$

解题步骤 1

将 $x \sqrt{1 - x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \sqrt{1 - x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x \sqrt{1 - x} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sqrt{1 - x}$ 。

$x (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$x (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5.2

组合 $x$ 和 $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ 。

$- \frac{x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5.3

将 $2$ 移到 ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{2}{3}$ 移到积分外。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 7.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 8

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $1 - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 8.1.2

求微分。

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解题步骤 8.1.2.1

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 8.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 8.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 8.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 8.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 8.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $u^{\frac{5}{2}}$ 。

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

解题步骤 11.2

将 $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ 重写为 $- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ 。

$- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{x \cdot 2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 11.3.2

组合 ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{x \cdot 2}{3}$ 。

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 11.3.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 11.3.4

将 $2$ 移到 ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 11.3.5

组合 $u^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

解题步骤 11.3.6

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ 。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{2 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{3 \cdot 5} + C$

解题步骤 11.3.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

解题步骤 11.3.8

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 11.3.9

要将 $- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 11.3.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 11.3.10.1

将 $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 11.3.10.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 11.3.11

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 11.3.12

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 12

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = x \sqrt{1 - x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微积分学 示例

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