微积分学示例

$y = \sqrt{\sqrt{3 x} + 8}$

解题步骤 1

将右边重写成指数为有理数的形式。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x}$ 重写成 ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \sqrt{{(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8}$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8}$ 重写成 ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(3 (x))}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.2.3

使用 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.9

因为 $3^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.13

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.14

化简分子。

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解题步骤 4.14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.14.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.15

合并分数。

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解题步骤 4.15.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.15.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.15.3

组合 $3^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.15.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 4.16

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

解题步骤 4.17

合并分数。

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解题步骤 4.17.1

将 $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17.2

将 $\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.17.3

化简表达式。

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解题步骤 4.17.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17.3.2

重新排序项。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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