微积分学示例

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ 中的每一项除以 $\sec^{2} (x)$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ 中的每一项都除以 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1.2.1

约去 $\sec^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.1.2.1.2

重写表达式。

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 1.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.1.3.1

从 $\sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

解题步骤 1.2.1.3.2

分离分数。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 1.2.1.3.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

解题步骤 1.2.1.3.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

解题步骤 1.2.1.3.5

化简。

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解题步骤 1.2.1.3.5.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 1.2.1.3.5.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 1.2.1.3.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 1.2.1.3.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.2.1.3.6

分离分数。

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.2.1.3.7

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.2.1.3.8

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.2.1.3.9

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

解题步骤 1.2.1.3.10

通过指数相加将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.2.1.3.10.1

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

解题步骤 1.2.1.3.10.2

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 1.2.1.3.10.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 1.2.1.3.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

解题步骤 1.2.1.3.10.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.1.3.11

用 $8$ 除以 $1$ 。

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

解题步骤 1.2.2

将方程重写为 $8 \cos^{3} (x) = 1$ 。

$8 \cos^{3} (x) = 1$

解题步骤 1.2.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $8 \cos^{3} (x)$ 重写为 ${(2 \cos (x))}^{3}$ 。

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

解题步骤 1.2.4.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 2 \cos (x)$ 和 $b = 1$ 。

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.4.4

化简。

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解题步骤 1.2.4.4.1

对 $2 \cos (x)$ 运用乘积法则。

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.4.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.4.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.4.4.4

一的任意次幂都为一。

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

解题步骤 1.2.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

解题步骤 1.2.6

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

求解 $\cos (x)$ 的 $2 \cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \cos (x) = 1$

解题步骤 1.2.6.2.2

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.7

将 $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 1.2.7.2

求解 $\cos (x)$ 的 $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

解题步骤 1.2.7.2.2

将 $a = 4$ 、 $b = 2$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $\cos (x)$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

解题步骤 1.2.7.2.3

化简。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 1.2.7.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 1.2.7.2.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.6

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.7

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.4.8

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 1.2.7.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.6

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.7

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.6

最终答案为两个解的组合。

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.8

最终解为使 $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 1.2.9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

解题步骤 1.2.10

在 $\cos (x) = \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.10.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 1.2.10.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.10.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.2.10.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 1.2.10.4

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.10.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 1.2.10.4.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.10.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 1.2.10.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 1.2.10.4.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.10.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 1.2.10.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 1.2.10.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.10.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.10.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.11

在 $\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.11.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 1.2.11.2

$\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ 的反余弦无定义。

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

解题步骤 1.2.12

在 $\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.12.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 1.2.12.2

$\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ 的反余弦无定义。

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

解题步骤 1.2.13

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

当 $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $\frac{π}{3} + 2 π n$ 替换 $x$ 。

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

解题步骤 1.3.2

去掉圆括号。

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

解题步骤 1.4

当 $x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ 替换 $x$ 。

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

解题步骤 1.4.2

去掉圆括号。

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

解题步骤 1.5

列出所有解。

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3

用积分求 $- \frac{π}{3}$ 和 $\frac{π}{3}$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 3.2.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.2.3

一的任意次幂都为一。

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 3.3.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3.5

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3.6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3.7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3.8

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 3.9

化简答案。

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解题步骤 3.9.1

代入并化简。

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解题步骤 3.9.1.1

计算 $\sin (x)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $- \frac{π}{3}$ 处的值。

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 3.9.1.2

计算 $\tan (x)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $- \frac{π}{3}$ 处的值。

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.2

化简。

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解题步骤 3.9.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.2.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3

化简。

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解题步骤 3.9.3.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 3.9.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.4.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.5

在公分母上合并分子。

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.6

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.3.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.7.2

约去公因数。

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.7.3

重写表达式。

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.8

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.9

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.10

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

解题步骤 3.9.3.11

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

解题步骤 3.9.3.12

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 3.9.3.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

解题步骤 3.9.3.12.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

解题步骤 3.9.3.13

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

解题步骤 3.9.3.14

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

解题步骤 3.9.3.15

从 $8 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$6 \sqrt{3}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$6 \sqrt{3}$

小数形式：

$10.39230484 \dots$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例