微积分学示例

$\int_{0}^{1} π {(1 - x^{2})}^{2} d x$

解题步骤 1

由于 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $π$ 移到积分外。

$π \int_{0}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x$

解题步骤 2

展开 ${(1 - x^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(1 - x^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ 。

$π \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) (1 - x^{2}) d x$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$π \int_{0}^{1} 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}) d x$

解题步骤 2.5

移动 $x^{2}$ 。

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

解题步骤 2.6

移动 $x^{2}$ 。

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 2.7

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$π \int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 2.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 2.11

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

解题步骤 2.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2 + 2} d x$

解题步骤 2.13

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4} d x$

解题步骤 2.14

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$π \int_{0}^{1} 1 - 2 x^{2} + x^{4} d x$

解题步骤 2.15

将 $- 2 x^{2}$ 和 $x^{4}$ 重新排序。

$π \int_{0}^{1} 1 + x^{4} - 2 x^{2} d x$

解题步骤 2.16

移动 $1$ 。

$π \int_{0}^{1} x^{4} - 2 x^{2} + 1 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1})$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ 和 $x]_{0}^{1}$ 。

$π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{x^{5}}{5} + x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

解题步骤 10.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3

化简。

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解题步骤 10.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.3

在公分母上合并分子。

$π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.4

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.6

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.6.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.6.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.6.2.2

约去公因数。

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.6.2.3

重写表达式。

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.6.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.7

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.9

将 $\frac{6}{5}$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.10

一的任意次幂都为一。

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

解题步骤 10.2.3.12

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.12.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

解题步骤 10.2.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.12.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 10.2.3.12.2.2

约去公因数。

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 10.2.3.12.2.3

重写表达式。

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 10.2.3.12.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0))$

解题步骤 10.2.3.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0))$

解题步骤 10.2.3.14

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 10.2.3.15

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$π (\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3})$

解题步骤 10.2.3.16

将负号移到分数的前面。

$π (\frac{6}{5} - \frac{2}{3})$

解题步骤 10.2.3.17

要将 $\frac{6}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 10.2.3.18

要将 $- \frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 10.2.3.19

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 10.2.3.19.1

将 $\frac{6}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π (\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 10.2.3.19.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 10.2.3.19.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

解题步骤 10.2.3.19.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15})$

解题步骤 10.2.3.20

在公分母上合并分子。

$π \frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

解题步骤 10.2.3.21

化简分子。

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解题步骤 10.2.3.21.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$π \frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

解题步骤 10.2.3.21.2

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$π \frac{18 - 10}{15}$

解题步骤 10.2.3.21.3

从 $18$ 中减去 $10$ 。

$π \frac{8}{15}$

解题步骤 10.2.3.22

组合 $π$ 和 $\frac{8}{15}$ 。

$\frac{π \cdot 8}{15}$

解题步骤 10.2.3.23

将 $8$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{8 π}{15}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8 π}{15}$

小数形式：

$1.67551608 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

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