微积分学示例

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.2

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3

因为 $\frac{1}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{x}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d y} [x y]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 + 0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 2.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 + 0 + x - y^{- 2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 0 + x - y^{- 2} + 2 y$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 + 0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

解题步骤 5.2.2

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$x + 2 y - \frac{1}{y^{2}}$

微积分学 示例

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