微积分学示例

$\frac{4}{3 \sqrt[5]{x^{3}}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{5}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{3}{5}}}]$

解题步骤 2

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{3 x^{\frac{3}{5}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$ 。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ 。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}]$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5} \cdot - 1}]$

解题步骤 3.2.2

乘以 $\frac{3}{5} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{5}}]$

解题步骤 3.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{5}}]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{5}$ 。

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1})$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 5}{5}})$

解题步骤 8.2

从 $- 3$ 中减去 $5$ 。

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 8}{5}})$

解题步骤 9

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{8}{5}})$

解题步骤 10

组合 $x^{- \frac{8}{5}}$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$\frac{4}{3} (- \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5})$

解题步骤 11

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}$ 。

$- \frac{4 (x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3)}{3 \cdot 5}$

解题步骤 12

乘。

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解题步骤 12.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{12 x^{- \frac{8}{5}}}{3 \cdot 5}$

解题步骤 12.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{12 x^{- \frac{8}{5}}}{15}$

解题步骤 12.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{8}{5}}$ 移动到分母。

$- \frac{12}{15 x^{\frac{8}{5}}}$

解题步骤 13

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (4)}{15 x^{\frac{8}{5}}}$

解题步骤 14

约去公因数。

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解题步骤 14.1

从 $15 x^{\frac{8}{5}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (4)}{3 (5 x^{\frac{8}{5}})}$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$- \frac{3 \cdot 4}{3 (5 x^{\frac{8}{5}})}$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$- \frac{4}{5 x^{\frac{8}{5}}}$

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