微积分学示例

$x y = 8$ , $x = 1$ and $x = 5$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = \frac{8}{x}$ 时， $V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{8}{x}$ 运用乘积法则。

$V = \frac{8^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = \frac{64}{x^{2}}$

$V = \frac{64}{x^{2}}$

解题步骤 3

由于 $64$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $64$ 移到积分外。

$V = π (64 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $64$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = 64 π \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$V = 64 π \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$V = 64 π - x^{- 1}]_{1}^{5}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$V = 64 π ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.2.2

一的任意次幂都为一。

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1)$

解题步骤 6.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

解题步骤 6.2.4

在公分母上合并分子。

$V = 64 π (\frac{- 1 + 5}{5})$

解题步骤 6.2.5

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$V = 64 π (\frac{4}{5})$

解题步骤 6.2.6

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $64$ 。

$V = \frac{4 \cdot 64}{5} \cdot π$

解题步骤 6.2.7

将 $4$ 乘以 $64$ 。

$V = \frac{256}{5} \cdot π$

解题步骤 6.2.8

组合 $\frac{256}{5}$ 和 $π$ 。

$V = \frac{256 π}{5}$

$V = \frac{256 π}{5}$

$V = \frac{256 π}{5}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{256 π}{5}$

小数形式：

$V = 160.84954386 \dots$

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$