微积分学示例

$f (x) = 2 x + 3$ , $[2, 8]$ , $n = 3$

解题步骤 1

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{2}^{8} 2 x + 3 d x - \int_{2}^{8} 3 d x$

解题步骤 2

用积分求 $2$ 和 $8$ 之间的面积。

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解题步骤 2.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{2}^{8} 2 x + 3 - (3) d x$

解题步骤 2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\int_{2}^{8} 2 x + 3 - 3 d x$

解题步骤 2.3

合并 $2 x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

$\int_{2}^{8} 2 x d x$

解题步骤 2.4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{2}^{8} x d x$

解题步骤 2.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{8})$

解题步骤 2.6

化简答案。

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解题步骤 2.6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{8})$

解题步骤 2.6.2

代入并化简。

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解题步骤 2.6.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $8$ 处和在 $2$ 处的值。

$2 ((\frac{8^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 2.6.2.2

化简。

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解题步骤 2.6.2.2.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{64}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 2.6.2.2.2

约去 $64$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.2.1

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 2.6.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 2.6.2.2.2.2.2

约去公因数。

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 2.6.2.2.2.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{32}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 2.6.2.2.2.2.4

用 $32$ 除以 $1$ 。

$2 (32 - \frac{2^{2}}{2})$

$2 (32 - \frac{2^{2}}{2})$

$2 (32 - \frac{2^{2}}{2})$

解题步骤 2.6.2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (32 - \frac{4}{2})$

解题步骤 2.6.2.2.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

解题步骤 2.6.2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

解题步骤 2.6.2.2.4.2.2

约去公因数。

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

解题步骤 2.6.2.2.4.2.3

重写表达式。

$2 (32 - \frac{2}{1})$

解题步骤 2.6.2.2.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 (32 - 1 \cdot 2)$

$2 (32 - 1 \cdot 2)$

$2 (32 - 1 \cdot 2)$

解题步骤 2.6.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (32 - 2)$

解题步骤 2.6.2.2.6

从 $32$ 中减去 $2$ 。

$2 \cdot 30$

解题步骤 2.6.2.2.7

将 $2$ 乘以 $30$ 。

$60$

$60$

$60$

$60$

$60$

解题步骤 3

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$