微积分学示例

$\int_{0}^{4} (2 \sqrt{y} - y) d y$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} - y d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{4} \sqrt{y} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \int_{0}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

解题步骤 5

根据幂法则， $y^{\frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - y d y$

解题步骤 6

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $y^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - y d y$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} y d y$

解题步骤 8

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

解题步骤 9.2.2

计算 $\frac{y^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.3.1

约去公因数。

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.3.2

重写表达式。

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.5

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.6

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.8.1

约去公因数。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.8.2

重写表达式。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.10

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.11

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.11.2.2

约去公因数。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.11.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$2 (\frac{16}{3} - 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.12

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (\frac{16}{3} + 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.13

将 $\frac{16}{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 (\frac{16}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.14

组合 $2$ 和 $\frac{16}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.15

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$\frac{32}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.16

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{32}{3} - (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.17

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.17.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.17.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.17.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.17.2.2

约去公因数。

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.17.2.3

重写表达式。

$\frac{32}{3} - (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.17.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 9.2.3.18

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{2})$

解题步骤 9.2.3.19

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.19.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 9.2.3.19.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.19.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.3.19.2.2

约去公因数。

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.3.19.2.3

重写表达式。

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{1})$

解题步骤 9.2.3.19.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{32}{3} - (8 - 0)$

解题步骤 9.2.3.20

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{32}{3} - (8 + 0)$

解题步骤 9.2.3.21

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$\frac{32}{3} - 1 \cdot 8$

解题步骤 9.2.3.22

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{32}{3} - 8$

解题步骤 9.2.3.23

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{32}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.2.3.24

组合 $- 8$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{32}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.2.3.25

在公分母上合并分子。

$\frac{32 - 8 \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.2.3.26

化简分子。

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解题步骤 9.2.3.26.1

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{32 - 24}{3}$

解题步骤 9.2.3.26.2

从 $32$ 中减去 $24$ 。

$\frac{8}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8}{3}$

小数形式：

$2.\overline{6}$

带分数形式：

$2 \frac{2}{3}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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