微积分学示例

${(x^{2} + 1)}^{3}$

解题步骤 1

将 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

解题步骤 4

展开 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

使用二项式定理。

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

解题步骤 4.2

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

解题步骤 4.3

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

解题步骤 4.4

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

解题步骤 4.5

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3} d x$

解题步骤 4.6

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2} d x$

解题步骤 4.7

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 4.8

移动 $x^{2}$ 。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 4.9

移动 $x^{2}$ 。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 4.10

移动 $x^{2}$ 。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

解题步骤 4.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.12

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.14

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{6} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.15

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{6} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{6} + 3 x^{2 + 2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.17

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.18

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.19

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.20

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.21

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 \int x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 9

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

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解题步骤 12.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

解题步骤 12.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

解题步骤 12.2

化简。

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{3 x^{5}}{5} + x^{3} + x + C$

解题步骤 12.3

重新排序项。

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

微积分学 示例

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