微积分学示例

$\int_{100}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{100}^{t} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 2.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 1 + x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 100^{2}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

对 $100$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = 1 + 10000$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 和 $10000$ 相加。

$u_{lower} = 10001$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 1 + x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 10001$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 5.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}}{2}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $1 + t^{2}$ 处和在 $10001$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} \frac{(2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

从 $2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 8.2.2

从 $- 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 8.2.3

从 $2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 8.2.4

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 8.2.4.2

约去公因数。

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.4.3

重写表达式。

$lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 8.2.4.4

用 ${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9.2

将 ${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{1 + t^{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} \sqrt{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9.3

对于根式，当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\infty - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9.4

计算 $10001^{\frac{1}{2}}$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\infty - 10001^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9.5

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\infty$

微积分学 示例

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