微积分学示例

$x (e^{x} - 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x} - 1$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

根据加法法则， $e^{x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (e^{x} + 0) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$x e^{x} + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x e^{x} + (e^{x} - 1) \cdot 1$

解题步骤 4.4

将 $e^{x} - 1$ 乘以 $1$ 。

$x e^{x} + e^{x} - 1$

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